2023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列图各组数中，是勾股数的是（）

A、6，8，12 B、0.6，0.8，1 C、8，15，16 D、9，12，15

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2. 如图，在 $4 \times 4$ 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为10 B、 $∠ B A C = 90 °$ C、 $A B = 2 \sqrt{5}$ D、点A到直线 $B C$ 的距离是2

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3. 三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）²=c²+2ab，则这个三角形是（）

A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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4. 如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（）

A、120cm B、130cm C、140cm D、150cm

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5. 下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（）

A、3，4，5 B、6，8，10 C、1.5，2，2.5 D、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$

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6. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C $0.7$ 米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）

A、0.4 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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7. 矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 中点，如果 $∠ B A E = 30 °$ ， $A E = 2$ ，那么 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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8. 如图， $△ O A_{1} A_{2}$ 为等腰直角三角形， $O A_{1} = 1$ ，以斜边 $O A_{2}$ 为直角边作等腰直角三角形 $O A_{2} A_{3}$ ，再以 $O A_{3}$ 为直角边作等腰直角三角形 $O A_{3} A_{4}$ ， $\dots$ ，按此规律作下去，则 $O A_{n}$ 的长度为（）

A、 $(\frac{1}{2})^{n}$ B、 $(\sqrt{2})^{n - 1}$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n - 1}$

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二、填空题

9. 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要元．

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10. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 $8 c m$ ，正方形A的面积是 $8 c m^{2} ， B$ 的面积是 $14 c m^{2} ， C$ 的面积是 $18 c m^{2}$ ，则 $D$ 的面积为 $c m^{2}$ ．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边．若 $a^{2} + b^{2} = 25$ ， $a^{2} - b^{2} = 7$ ， $c = 5$ ，则最长边上的高是．

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12. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且 $a b = 12$ ，则图中大正方形的边长为．

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13. 如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图， $D E$ 为地面，支架 $C D$ 垂直地面， $A B ， B C$ 可分别绕点B ， C转动，测量知 $A B = 30$ cm， $B C = 20$ cm， $C D = 15$ cm．当 $A B ， B C$ 转动到 $∠ B C D = 120 °$ ，且A ， C ， D三点共线时，则点A到地面的距离为cm．

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三、解答题

14. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.

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15. 材料阅读：给定三个正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若它们满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则称 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 这三个数为“勾股数” $.$ 例如：
$① 3^{2} = 9$ ， $4^{2} = 16$ ， $5^{2} = 25$ ； $∵ 9 + 16 = 25$ ，即 $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ， $∴ 3$ 、 $4$ 、 $5$ 这三个数为勾股数．
$② 5^{2} = 25$ ， $1 2^{2} = 144$ ， $1 3^{2} = 196$ ； $∵ 25 + 144 + 169$ ，即 $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ ， $∴ 5$ 、 $12$ 、 $13$ 这三个数为勾股数．
若三角形的三条边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足勾股数，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则这个三角形为直角三角形，且 $a$ 、 $b$ 分别为直角的两条邻边 $. ($ 如题图所示 $)$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、试判断 $8$ 、 $15$ 、 $17$ 是否为勾股数；

(2)、若某三角形的三边长分别为 $7$ 、 $24$ 、 $25$ ，求其面积；

(3)、已知某直角三角形的两边长为 $6$ 和 $8$ ，求其周长．

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四、计算题

16. 如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．

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五、综合题

17. 如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 $C A$ ， $C B$ 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.

(1)、如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？

(2)、现计划把河水从河道 $A B$ 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.

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18. 如图 $1$ ，同学们想测量旗杆的高度 $h$ （米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余 $1$ 米，如图 $1$ ；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部 $4$ 米，如图 $2$ ．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图 $3$ 点 $D$ 处（ $B D = B C$ ）．

(1)、请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；

(2)、已知小亮举起绳结离旗杆 $4.5$ 米远，此时绳结离地面多高？

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2023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 同步分层训练提升题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

2023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理同步分层训练提升题