2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 ${(\sqrt{2})}^{0} = \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} (2 \sqrt{3} - 2) = 6 - 2 \sqrt{3}$

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2. 如图所示，A（2 $\sqrt{2}$ ， 0），AB＝3 $\sqrt{2}$ ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C ，则点C的坐标为（　　）

A、（3 $\sqrt{2}$ ， 0） B、（ $\sqrt{2}$ ， 0） C、（- $\sqrt{2}$ ， 0） D、（-3 $\sqrt{2}$ ， 0）

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3. 下列计算错误的是（　　）

A、 $\sqrt{2}$ $\times$ $\sqrt{5}$ = $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{5}$ = $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$ D、 $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

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4. 若二次根式 $\sqrt{4 a - 2}$ 与 $\sqrt{2}$ 可以合并，则 $a$ 的值可以是（）

A、6 B、5 C、4 D、2

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5. 下列关于 $- \sqrt{8}$ 的叙述中，正确的是（）

A、在数轴上不存在表示 $- \sqrt{8}$ 的点 B、 $- \sqrt{8}$ = $\sqrt{2} - \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{8}$ = $- \sqrt{2} - \sqrt{6}$ D、与 $- \sqrt{8}$ 最接近的整数是-3

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6. 若一正方体的表面积为 $18 d m^{2}$ ，则此正方体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3} d m$ B、 $3 d m$ C、 $\sqrt{18} d m$ D、 $\sqrt[3]{18} d m$

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7. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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8. 下列各实数中最大的一个是（）

A、5× $\sqrt{0.039}$ B、 $\frac{3.141}{π}$ C、 $\frac{7}{\sqrt{14} + \sqrt{7}}$ D、 $\sqrt{0.3}$ + $\sqrt{0.2}$

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二、填空题

9. 计算： $\frac{\sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ = ．

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10. $\sqrt{18}$ 与最简二次根式3 $\sqrt{a - 2}$ 是同类二次根式，则a＝．

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11. 若最简二次根式 ${}_{2 a - 4}{\sqrt{3 a + b}}$ 与 $\sqrt{a - b}$ 是同类根式，则2a-b＝．

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12. 设m、x、y均为正整数，且 $\sqrt{m - \sqrt{28}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ ，则（x+y+m）²=.

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13. 已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的值也是整数，那么称（a,b）是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ =4，（4，4）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 所以（1,1）和（4，4）都是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”，请你再写出一个2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”： .

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三、解答题

14. 观察：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ = $\frac{2 （ \sqrt{3} － 1 ）}{（ \sqrt{3} + 1 ）（ \sqrt{3} － 1 ）}$ = $\sqrt{3} － 1$
$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ = $\frac{2 （ \sqrt{5} － \sqrt{3} ）}{（ \sqrt{5} + \sqrt{3} ）（ \sqrt{5} － \sqrt{3} ）}$ = $\sqrt{5} － \sqrt{3}$

(1)、化简：① $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ =；
② $\frac{2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$ =；

(2)、比较大小： $\sqrt{31}$ − $\sqrt{29}$ $\sqrt{29}$ − $\sqrt{27}$ ；

(3)、计算： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ + $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ + $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ +...+ $\frac{2}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}$ .

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15. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a、b使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，这样 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ 例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$
解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ；
由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，即 $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，
$∴ \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$
由上述例题的方法化简：

(1)、 $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - \sqrt{40}}$ ；

(3)、 $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

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四、计算题

16. 计算：

(1)、 $3 \sqrt{\frac{2}{3}} \times (- \frac{1}{8} \sqrt{15}) \div \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{5}}$ ；

(2)、 $\sqrt[3]{- 8} - \sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} \times (- 2023)^{0}$

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五、综合题

17. 阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：① $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ；② $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{2} + 1$ 等运算都是分母有理化．
根据上述材料，

(1)、化简： $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ ；

(3)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}) (\sqrt{2023} + 1)$ ．

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18. 阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2 $\sqrt{2}$ ＝（1＋ $\sqrt{2}$ ）² ，善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b $\sqrt{2}$ ＝（m＋n $\sqrt{2}$ ）² ，则有a＋b $\sqrt{2}$ ＝m²＋2n²＋2mn $\sqrt{2}$ ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为整数时，若 $a + b \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　　， b＝　　；

(2)、若a＋6 $\sqrt{7}$ ＝（m＋n $\sqrt{7}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)、直接写出式子 $\sqrt{49 + 20 \sqrt{6}}$ 化简的结果．

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2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减 同步分层训练培优题

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二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

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