2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.5}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8}$

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2. 下列式子中，是 $a \sqrt{x} + b \sqrt{y}$ 的有理化因式的是（）

A、 $a \sqrt{x} - b \sqrt{y}$ B、 $a \sqrt{x} + b \sqrt{y}$ C、 $b \sqrt{x} + a \sqrt{y}$ D、 $\sqrt{x} - \sqrt{y}$

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3. 已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（　　）秒．

A、5 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、5 D、4

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4. 小明的作业本上有以下四题：① $\sqrt{16 a^{4}}$ =4a²；② $\sqrt{5 a}$ · $\sqrt{10 a}$ =5 $\sqrt{2}$ a；③a $\sqrt{\frac{1}{a}}$ = $\sqrt{a^{2} · \frac{1}{a}}$ = $\sqrt{a}$ ；④ $\sqrt{8 a}$ ÷ $\sqrt{2 a}$ =4.做错的题是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 下列整数中与 $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$ 的结果最接近的是（）

A、3 B、4 C、9 D、18

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6. 若 $\sqrt{2} \times (2 \sqrt{5} - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A、 $4$ 和 $5$ B、 $5$ 和 $6$ C、 $6$ 和 $7$ D、 $7$ 和 $8$

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7. 已知a＝ $\sqrt{2}$ ， b＝ $\sqrt{10}$ ，用含a，b的代数式表示 $\sqrt{20}$ ，这个代数式是（　　）

A、a+b B、ab C、2a D、2b

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8. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是分数 B、16的平方根是±4，即 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、8.30万精确到百分位 D、若 $\sqrt{a - 2022} + | b + 1 | = 0$ ，则 $b^{a} = 1$

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二、填空题

9. 如果 $a = \sqrt{5} - 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + a^{2} - 2} =$ ．

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10. 当 $x = - 6$ 时，二次根式 $\sqrt{4 - 2 x}$ 的值为．

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11. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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12. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2},$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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三、解答题

13. 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么这个三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $a = 8$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、过点A作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为D、求线段 $A D$ 的长．

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14.

(1)、已知方程① $\sqrt{x + 2023}$ + $\sqrt{x - 2023}$ = $\sqrt{2024}$ ， ② $\sqrt{x - 2022}$ + $\sqrt{x - 2023}$ + $\sqrt{x - 2024}$ =3请判断这两个方程是否有解?并说明理由；

(2)、已知 $\sqrt{3 x + 2023}$ + $\sqrt{3 x - 2023}$ =2023，求 $\sqrt{3 x + 2023} - \sqrt{3 x - 2023}$ 的值。

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四、计算题

15. 阅读下列材料,然后回答问题:
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 、 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:

$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5}{3} \sqrt{3}$ ;

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \times (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ .

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简:

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ .

(1)、请用两种方法化简 $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ;

(2)、化简: $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ... + \frac{2}{\sqrt{99} + \sqrt{97}}$ .

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五、综合题

16. 已知二次根式 $\sqrt{x + 2}$ ．

(1)、求使得该二次根式有意义的 $x$ 的取值范围；

(2)、已知 $\sqrt{x + 2}$ 是最简二次根式，且与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 可以合并．
①求 $x$ 的值；
②求 $\sqrt{x + 2}$ 与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 的乘积．

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17. 阅读材料：像 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ …这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： $\frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ； $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} = 2 + \sqrt{3}$ ．
解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{6}$ 的有理化因式是， $\sqrt{3} + 2$ 的有理化因式是．

(2)、观察下面的变形规律，请你猜想： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ．
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ …

(3)、利用上面的方法，请化简：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ．

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2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除 同步分层训练培优题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、计算题

五、综合题

2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除同步分层训练培优题