湖南省衡阳市重点中学2023-2024学年七年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-19 类型：月考试卷

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一、选择题

1. $| - 7 |$ 的倒数是（）

A、 $- 7$ B、7 C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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2. 过度包装即浪费又污染环境，据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨，把数3120000用科学记数法表示为（）

A、 $3.12 \times 1 0^{6}$ B、 $3.12 \times 1 0^{5}$ C、 $31.2 \times 1 0^{5}$ D、 $0.312 \times 1 0^{7}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $5 x^{2} y - 2 y x^{2} = 3$ B、 $- 4^{2} - {(- 3)}^{3} = 11$ C、 $7 m - (- 5 m) = 2 m$ D、 $6 x + 3 y = 9 x y$

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4. 下列结论：①0的相反数、平方、倒数都是它本身；② $- \frac{5 π x^{2} y^{3}}{6}$ 的系数是 $- \frac{5}{6}$ ；③互补且相等的两个角都是 $45 °$ ；④等角的余角相等；⑤一个锐角的补角和余角都比这个角大；⑥木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 下图中不是正方体展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $A C = \frac{1}{4} A B$ ， $B D = \frac{1}{5} A B$ ， $A E = C D$ ，则 $C E$ 与 $A B$ 之比为（）

A、 $1 ： 6$ B、 $3 ： 10$ C、 $1 ： 12$ D、 $7 ： 10$

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8. 三个边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的正方形如图摆放，则阴影部分的周长（）

A、只与 $a$ ， $b$ 有关 B、只与 $a$ 、 $c$ 有关 C、只与 $b$ 、 $c$ 有关 D、与 $a$ ， $b$ 、 $c$ 有关

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9. 如图，将正方形纸片 $A B C D$ 折叠，使边 $A B ， C B$ 均落在对角线 $B D$ 上，得折痕 $B E ， B F$ ，则 $∠ E B F$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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10. “科赫曲线”是瑞典数学家科赫构造的图案（又名雪花曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．则操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（）

A、192 B、243 C、256 D、768

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二、填空题

11. 已知 $a^{2} + 2 a - 3 = 0$ ，则代数式 $2 a^{2} + 4 a - 3$ 的值是．

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12. $40 ° 1 2^{'} =$ $°$ ．

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13. 如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的补角是度．

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14. 如图， $A B$ 线段的长是12，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $D$ 为线段 $A B$ 上一点，且 $A D = \frac{1}{2} B D$ ．线段 $D C$ 的长为．

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15. 如图所示，已知 $∠ A O B = α$ ， $∠ B O C = β$ ， $O M$ 、 $O N$ 分别平分 $∠ A O C$ 、 $∠ B O C$ ．则 $∠ M O N$ 的度数为（用含有 $α$ 、 $β$ 的式子表示）．

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16. 如图所示， $∠ D C E = 90 °$ ， $C F$ 、 $C H$ 、 $C G$ 分别平分 $∠ A C D$ ， $∠ B C D$ ， $∠ B C E$ ，下列结论：① $∠ D C F + ∠ B C H = 90 °$ ． ② $∠ F C G = 135 °$ ． ③ $∠ E C F + ∠ G C H = 180 °$ ． ④ $∠ D C F - ∠ E C G = 45 °$ ．其中正确的是．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $(\frac{7}{9} - \frac{5}{6}) \times 18 + 3.95 \times 6 - 1.45 \times 6$ ；

(2)、 $- 1^{2024} - | - 18 | \times (1 - \frac{4}{9}) - 4 + (- 2)^{2}$ ．

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18. 先化简，再求值： $4 x y - (2 x^{2} - 5 x y + y^{2}) + 2 (x^{2} - 3 x y)$ ，其中 $x$ ， $y$ 满足 $| x + 2 | + {(y - 3)}^{2} = 0$ ．

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19.

(1)、若 $m$ ， $n$ 互为相反数， $x$ ， $y$ 互为倒数， $p$ 是最大的负整数， $p$ ， $q$ 在数轴上对应的两点的距离是5且 $q$ 在 $p$ 的右边，求 $\frac{m + n}{p} + x y + q^{2}$ 的值．

(2)、有理数 $a$ ， $b$ ， $c$ 位置如图所示，化简 $| a - c | + | b + c | - 2 | b - a |$ ．

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20. 延长线段 $A B$ 至 $C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是线段 $A C$ 和线段 $B C$ 的中点．

(1)、已知 $A B = 10$ ， $B E = 2$ ，求 $D B$ 的长；

(2)、若 $D E = a c m$ ，求线段 $A B$ 的长．

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21. 滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

计费项目	里程费	时长费	远途费
单价	$1.8$ 元/公里	$0.45$ 元/分钟	$0.4$ 元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收 $0.4$ 元．

(1)、若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元?

(2)、若小明乘坐滴滴快车，行车里程为

a

公里，行车时间为

b

分钟，则小明应付车费多少元（用含

a

、

b

的代数式表示，并化简）?

(3)、小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为

9.5

公里与

14.5

公里，但下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟?

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22. 如图 $O$ 为直线 $A B$ 上一点， $∠ A O C = 50 °$ ， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ， $∠ D O E = 90 °$ ．

(1)、 $∠ B O E$ 的余角有（填图中已有的角）；

(2)、求 $∠ B O D$ 的度数；

(3)、试判断 $O E$ 是否平分 $∠ B O C$ ，并说明理由．

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23. 探索规律．

(1)、观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是 $2^{2} - 1^{2} = 2 + 1$ ；
图②空白部分小正方形的个数是 $4^{2} - 3^{2} = 4 + 3$ ；
图③空白部分小正方形的个数是 $5^{2} - 4^{2} =$ $+$ ．

(2)、像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律， $- n^{2} =$ $+$ ．

(3)、运用规律计算： $(202 4^{2} - 202 3^{2} + 202 2^{2} - 202 1^{2} + 202 0^{2} - 201 9^{2} + ⋯ + 2^{2} - 1^{2}) \div 1012$

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24. 若 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点共线， $∠ B O C = 40 °$ ，将一个三角板的直角顶点放在点 $O$ 处（注： $∠ D O E = 90 °$ ， $∠ E D O = 30 °$ ）．

(1)、如图1，使三角板的长直角边 $O D$ 在射线 $O B$ 上，则 $∠ C O E =$ $°$ ；

(2)、将图1中的三角板 $D O E$ 绕点 $O$ 以每秒 $5 °$ 的速度按逆时针方向旋转一周，
①若旋转到到图2位置，此时 $∠ C O D = \frac{1}{4} ∠ A O E$ ，求运动时间 $t$ 的值：
②经过 $t$ 秒后，直线 $O C$ 恰好成为 $∠ D O E$ 的三等分线，直接写出 $t$ 的值．

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25. 在长方形 $A B C D$ 中，边 $A B$ 长度比 $B C$ 长度短10个单位长度，且 $A B$ 的长度是 $B C$ 长度的 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $B C$ 边的长；

(2)、现有一动点 $P$ 从 $B$ 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线路径 $B C - C D$ 向终点 $D$ 运动，在 $P$ 点运动过程中，设运动时间为 $t$ 秒，三角形 $A P C$ 的面积为 $S （ S > 0 ）$ ，试用含 $t$ 的式子表示 $S$ ；

(3)、在（2）的条件下，点 $M$ 为 $B P$ 的中点，点 $N$ 为 $C P$ 的中点，在点 $P$ 出发的同时，动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以4个单位/秒的速度沿 $C B$ 边匀速向左运动，当点 $Q$ 遇到点 $M$ 后，立即按原速原路返回（调头时间忽略不计），且 $Q$ 回到点 $C$ 时 $P$ 、 $Q$ 两点立即停止运动．当 $4 B M - N Q = 14$ 时，请求出满足条件的 $t$ 值？

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