山东省济宁市嘉祥县2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“白露”、“芒种”、“立春”，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A、1，6，7 B、2，5，8 C、3，4，5 D、5，5，10

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $(m + 3) (m - 3) = m^{2} - 9$ B、 $2 (m - n) = 2 m - n$ C、 $(m + 2 n)^{2} = m^{2} + 4 n^{2}$ D、 $m + m = m^{2}$

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4. 如图，已知点 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一条直线上， $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ E$ ，添加一个条件仍无法证明 $△ A B C ≌ △ D E F$ 是（）

A、 $B C = E F$ B、 $B C ∥ E F$ C、 $∠ A = ∠ E D F$ D、 $A D = C F$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ .作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ .若 $A B = 7$ ， $A C = 12$ ， $B C = 6$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（）

A、25 B、22 C、19 D、18

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，知点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ ， $C E$ 的中点， $S_{△ A B C} = 8 c m^{2}$ ，则阴影部分的面积（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知 $9^{m} = 3 ， 27^{n} = 4$ ，则 $3^{2 m + 3 n} =$ （）

A、1 B、6 C、7 D、12

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8. 如图1，在边长为 $a$ 的正方形中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，把剩下部分拼成一个梯形（如图 $2)$ ，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

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9. 已知：如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 6$ ．延长 $B C$ 到点E ，使 $C E = 2$ ，连接 $D E$ ，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 $B C - C D - D A$ 向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时， $△ A B P$ 和 $△ D C E$ 全等．

A、1 B、1或3 C、1或7 D、3或7

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10. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A ， E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD ， AD与BE交于点O ， AD与BC交于点P ， BE与CD交于点Q连接PQ ．以下五个结论正确的是（）
① $A D = B E$ ；②PQ∥AE； ③ $A P = B Q$ ；④ $D E = D P$ ；⑤ $∠ A O B = 6 0^{∘}$

A、①③⑤ B、①③④⑤ C、①②③⑤ D、①②③④⑤

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， 8)$ 与点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为．

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12. 分解因式： $x y^{2} - x =$ ．

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13. 已知 $x^{2} - k x + 16$ 是完全平方式，则 $k =$ .

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14. 如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．

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15. 如图，∠MON＝90°，点A ， B分别在射线OM ， ON上运动，BE平分∠NBA ， BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C ，则∠C＝°．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线．若 $P$ ， $Q$ 分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} + (x + 3) (x - 3) + 2 x (2 - x)$ ，其中 $x = - \frac{1}{2}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上．

(1)、若 $∠ 1 = ∠ 2 = 35 ° ， ∠ 3 = ∠ 4$ ，求 $∠ D A C$ 的度数；

(2)、若 $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $△ A B D$ 的周长比 $△ A C D$ 的周长大 $3 ， A B = 9$ ，求 $A C$ 的长．

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19. 如图，公园里有一条“Z”字形道路 $A B C D$ ，在 $A B ， B C ， C D$ 三段路旁各有一只小石凳 $E ， M ， F$ ，且 $E ， M ， F$ 恰好在一条直线上， $M$ 为 $E F ， B C$ 的中点．

(1)、求证 $△ M B E ≅ △ M C F$ ；

(2)、判断 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系，并说明理由．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D ⊥ A B$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交AD于点D ．

(1)、求证： $∠ A D E = ∠ A E D$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $C E = 2$ ，求 $△ A B E$ 的面积．

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21. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 4 ， - 2)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (- 1 ， - 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积

(3)、在x轴上作出一点P ，使 $P A + P B$ 的值最小．（保留作图痕迹）

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22. 如图所示，小红在一块长为 $(5 a + 2 b)$ 米，宽为 $(3 a - b)$ 米的长方形空地上进行绿化改造，若在中间修建一边长为 $(a - b)$ 米的正方形花坛，其余地面铺设草坪（阴影部分）

(1)、用含a ， b的式子表示草坪的总面积：

(2)、当 $a = 5 ， b = 1$ 时，已知草坪的单价为每平方米 $5.5$ 元．求需要购买草坪所需要的总费用．

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23. 如图， $D E ⊥ A B$ 于 $E ， D F ⊥ A C$ 于F，若 $B D = C D ， B E = C F$ ，

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、已知 $A C = 10 ， B E = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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24. 乘法公式的探究及应用.
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

(1)、观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）² ， a²+b² ， ab之间的等量关系.；

(2)、若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张， C号卡片张.

(3)、根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a²+b²＝11，求ab的值.

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25. 先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 $a m + a n + b m + b n$ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ，再把它的后两项分成一组，并提出b ，从而得 $a m + a n + b m + b n = a (m + n) + b (m + n)$ ．
这时，由于 $a (m + n) + b (m + n)$ 中又有公因式 $m + n$ ，于是可提公因式 $m + n$ ，从而得到 $(m + n) (a + b)$ ，因此有 $a m + a n + b m + b n = (a m + a n) + (b m + b n) = a (m + n) + b (m + n) = (m + n) (a + b)$ ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．

(1)、请用上面材料中提供的方法分解因式：
① $a b - a c + b c - b^{2}$ ；
② $m^{2} - m n + m x - n x$ ；
③ $x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y - 4 y + 8$ ．

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，并且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = 0$ ，试判断此三角形的形状．

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26.

(1)、如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m经过点A ， BD⊥直线m ， CE⊥直线m ，垂足分别为点D、E ．证明∶DE=BD+CE ．

(2)、如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC ， D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= $α$ ，其中 $α$ 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF的形状.

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