湖南省娄底市2023-2024学年八年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-19 类型：月考试卷

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 若 $a > b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a - 2 > b - 2$ B、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $3 a + 4 < 3 b + 4$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{8} = \pm 2$ B、 $- \sqrt[3]{- 7} = \sqrt[3]{- 7}$ C、 $- \sqrt{\frac{16}{9}} = - \frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}$

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3. 科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035 $m$ ，将0.0000035用科学记数法表示为（）

A、 $3.5 \times 1 0^{- 6}$ B、 $3.5 \times 1 0^{6}$ C、 $3.5 \times 1 0^{- 5}$ D、 $3.5 \times 1 0^{5}$

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4. 下列各式：① $x^{2} + 2 > 5$ ；② $a + b$ ；③ $\frac{x}{3} \geq \frac{2 x - 1}{5}$ ；④ $x - 1$ ；⑤ $x + 2 \leq 3$ ．其中是一元一次不等式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 下列数轴上，正确表示不等式 $3 (x - 2) > 2 x - 5$ 的解集的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估算 $7 - \sqrt{13}$ 的值，下列结论正确的是（）

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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7. 下列命题是真命题的是（　　）

A、同旁内角互补 B、三角形的一个外角等于它的两个内角之和 C、直角三角形两锐角互余 D、三角形的一个外角大于内角

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8. 若 $\frac{□}{x + y} \div \frac{x}{y^{2} - x^{2}}$ ，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（）

A、y－x B、y＋x C、2x D、 $\frac{1}{x}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，点O是 $△ A B C$ 内一点， $O D$ 垂直平分 $A B$ ，若 $∠ O B C ＝ ∠ O C B$ ， $O C = 4$ ，则点A、O之间的距离为（　　）

A、4 B、8 C、2 D、6

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10. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D ．且AH平分∠BAC交BM于N ．交BC于H ．连接DM ．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（　　）个．

A、0 B、1 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 在实数 $3.1415926$ ， $\sqrt{5}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\sqrt[3]{9}$ ， $\sqrt[3]{- 27}$ ， 0， $\frac{π}{2}$ ， $- \sqrt{\frac{121}{225}}$ ， $0.303003 \dots$ （相邻两个3之间依次多个0）中，无理数有个．

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12. 不等式 $3 x - 5 < 3 + x$ 的非负整数解有个．

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13. 计算： ${(\frac{a^{3}}{b^{2}})}^{2} \div {(\frac{a}{b^{3}})}^{2} =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是高， $A E$ 是角平分线， $∠ E A D = 5 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ B =$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 80 °$ ，进行如下操作：①以点 $B$ 为圆心，以小于 $A B$ 长为半径作弧，分别交 $B A$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ；②分别以 $E$ 、 $F$ 为圆心，以大于 $E F$ 长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ；③作射线 $B M$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为．

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16. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2} = \frac{1 - 2 x}{2 - x} - 1$ 解为正数，则实数m的取值范围是．

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt[3]{27} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - | 1 - \sqrt{3} | + {(π - 2022)}^{0}$ ．

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18. 化简求值： $\frac{m + 2}{m^{2} - 1} \div (m - 1 - \frac{3}{m + 1})$ ，已知 $m^{2} - 3 m - 4 = 0$ ．

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19. 解下列不等式．

(1)、 $4 x - 2 > 3 (x - 1)$ ；

(2)、 $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \geq 1$ ．

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20. 如图，在△ABC中，AB＝AC ， BE平分∠ABC交AC于点E ，过点E作EF∥BC交AB于点F ， D是BC边上的中点，连结AD ．

(1)、若∠BAD＝55°，求∠C的度数；

(2)、猜想FB与FE的数量关系，并证明你的猜想．

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21. 已知一个数的平方根分别为 $2 a + 1$ 和 $4 - a$ ， $2 a + b + 4$ 的立方根为2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $\sqrt{a + b}$ 的算术平方根．

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22. 某食品公司决定将一批花椒送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱花椒，且甲种货车装运 $1000$ 箱花椒所用车辆与乙种货车装运 $800$ 箱花椒所用车辆相等．

(1)、求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱花椒？

(2)、如果这批花椒有 $1625$ 箱，用甲、乙两种货车共18辆来装运，甲种货车每辆车刚好装满，乙种货车最后一辆只装了65箱，其他全部装满，求甲、乙两种货车各多少辆？

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23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．

(1)、求证：△ADC≌△CEB．

(2)、AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．

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24. 观察下列等式：① $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{2}$ ；② $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{6}$ ；③ $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{12}$ ．
解决下列问题：

(1)、根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；

(2)、用含 $n$ （ $n$ 为正整数）的等式表示上面各个等式的规律；

(3)、利用上述结果计算： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$ ．

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25. 在直线 $m$ 上依次取互不重合的三个点 $D$ ， $A$ ， $E$ ，在直线 $m$ 上方有 $A B = A C$ ，且满足 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = α$ ．

(1)、如图1，当 $α = 9 0^{∘}$ 时，求证： $D E = B D + C E$ ；

(2)、如图2，当 $0 < α < 180$ 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展与应用：如图3，当 $α = 12 0^{∘}$ 时，点 $F$ 为 $∠ B A C$ 平分线上的一点，且 $A B = A F$ ，分别连接 $F B$ ， $F D$ ， $F E$ ， $F C$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由．

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