【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册1.3 二次根式的运算同步练习

试卷更新日期：2024-01-19 类型：同步测试

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一、选择题

1. 等式 $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$ 成立的条件是(　　).

A、x≥1 B、x≥-1 C、-1≤x≤1 D、x≥1或x≤-1

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2. 如果最简根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 与 $\sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么使 $\sqrt{4 a - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是（　　）

A、x≤10 B、x≥10 C、x＜10 D、x＞10　

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3. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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二、计算题

4. 计算： $\sqrt{4} + \sqrt[3]{- 64} - \sqrt{(- 3)^{2}} + | \sqrt{3} - 1 |$

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5. 计算

(1)、 $\sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3}$ ；

(2)、 $(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ ．

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6. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{20} + \sqrt{27} - \sqrt{45}$

(2)、 $\frac{| \sqrt{3} - 2 |}{\sqrt{3}} - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$

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7. 计算： $\frac{2}{b} \sqrt{a b^{5}} \cdot (- \frac{3}{2} \sqrt{a^{3} b}) \div 3 \sqrt{\frac{b}{a}}$

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三、解答题

8. 若实数x，y满足 $(x - \sqrt{x^{2} - 2016}) (y - \sqrt{y^{2} - 2016}) = 2016$ ．

(1)、求x，y之间的数量关系；

(2)、求 $3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x - 5 y - 2019$ 的值．

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9.

(1)、已知方程① $\sqrt{x + 2023}$ + $\sqrt{x - 2023}$ = $\sqrt{2024}$ ， ② $\sqrt{x - 2022}$ + $\sqrt{x - 2023}$ + $\sqrt{x - 2024}$ =3请判断这两个方程是否有解?并说明理由；

(2)、已知 $\sqrt{3 x + 2023}$ + $\sqrt{3 x - 2023}$ =2023，求 $\sqrt{3 x + 2023} - \sqrt{3 x - 2023}$ 的值。

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10. 在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，
例如： $5 + 2 \sqrt{6} = (2 + 3) + 2 \sqrt{2 \times 3} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{3})^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ ； $7 - 2 \sqrt{10} = (2 + 5) - 2 \sqrt{2 \times 5} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{5})^{2} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{5} = (\sqrt{2} - \sqrt{5})^{2}$ ．

请你根据上述的分析方法，解决下列问题：

(1)、 $10 + 2 \sqrt{21} =$ ；

(2)、若 $a + 2 \sqrt{17} = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^{2}$ ，且 $a ､ m ､ n$ 均为正整数，则 $a =$ ；

(3)、计算： $\sqrt{32 - 8 \sqrt{15}}$ ．

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11. 阅读下列解题过程： $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{4})}^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，请回答下列问题：

(1)、观察上面的解答过程，请化简： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ；

(2)、利用上面的解法，请化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ ；

(3)、比较大小： $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ 和 $\sqrt{13} - \sqrt{12}$ ．

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12. 综合题

(1)、探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
$\sqrt{4} \times \sqrt{16}$ $\sqrt{4 \times 16}$ ， $\sqrt{49} \times \sqrt{9}$ $\sqrt{49 \times 9}$ ， $\sqrt{\frac{9}{45}} \times \sqrt{25}$ $\sqrt{\frac{9}{45} \times 25}$ ， $\sqrt{\frac{16}{9}} \times \sqrt{\frac{4}{25}}$ $\sqrt{\frac{16}{9} \times \frac{4}{25}}$ …
用 $\sqrt{a} ， \sqrt{b} ， \sqrt{a b}$ 表示上述规律为：；

(2)、利用（1）中的结论，求 $\sqrt{8} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的值

(3)、设x= $\sqrt{3}$ ，y= $\sqrt{6}$ 试用含x，y的式子表示 $\sqrt{54}$ ．

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13. 阅读材料并解决问题： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，像上述解题过程中， $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} =$ ；若n为正整数，请你猜想 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}) \times (\sqrt{2022} + 1)$ ；

(3)、计算： $(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{2024} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2024} + 1)$ ．

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14. 在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求2a²﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ．
∴（a﹣2）²＝3，即a²﹣4a+4＝3．
∴a²﹣4a＝﹣1．
∴2a²﹣8a+1＝2（a²﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：

(1)、试化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ 和 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求4a²﹣8a+1的值．

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15. 先阅读，再解答问题．
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如：当x= $\sqrt{3}$ +1时，求 $\frac{1}{2}$ x³-x²-x+2的值，为解答这题，若直接把x= $\sqrt{3}$ +1代人所求的式中进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形．由x= $\sqrt{3}$ +1，得x-1= $\sqrt{3}$ ．再把所求的代数式变形为关于(x-1)的表达式．
原式= $\frac{1}{2}$ [x²(x-1)-x(x-1)-3x]+2= $\frac{1}{2}$ [x(x-1)²-3x]+2= $\frac{1}{2}$ (3x-3x)+2=2．
方法二：先将条件化成合适的等式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x-1= $\sqrt{3}$ ，可得x²-2x-2=0，即x²-2x=2，x²=2x+2．
原式= $\frac{1}{2}$ x(2x+2)-x²-x+2=x²+x-x²-x+2=2．
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：

(1)、已知a= $\sqrt{11}$ -1，求a²+2a+2的值；

(2)、已知x=2+ $\sqrt{5}$ ，求x²-4x+200的值；

(3)、已知x=2+ $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 4 x + 2}$ 的值．

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