【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册1.2 二次根式的性质同步练习

试卷更新日期：2024-01-19 类型：同步测试

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一、单选题

1. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 $\sqrt{{(b - a)}^{2}}$ 的结果是（）

A、 $b - a$ B、 $a ＋ b$ C、 $- a - b$ D、 $a - b$

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2. 计算 $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3} - 2$ B、 $\sqrt{3} + 2$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3} - 2$

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3. 代数式 $\sqrt{{(1 - a)}^{2}} + \sqrt{{(3 - a)}^{2}}$ 的值为常数2，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 3$ B、 $a \leq 1$ C、 $1 \leq a \leq 3$ D、 $a = 1$ 或 $a = 3$

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4. 已知 $- 1 < a < 0$ ，化简 $\sqrt{{(a + \frac{1}{a})}^{2} - 4} + \sqrt{{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 4}$ 得（）

A、 $- 2 a$ B、 $- \frac{2}{a}$ C、 $2 a$ D、 $\frac{2}{a}$

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5. 一次函数y=-mx+n的图象经过第二、三、四象限，则化简 $\sqrt{(m - n)^{2}} + \sqrt{n^{2}}$ 所得的结果是（）

A、m B、-m C、2m-n D、m-2n

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二、填空题

6. 若x²+y²=1，则 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{x y - 2 x + y - 2}$ 的值为

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7. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则 $x^{2} + 2 x y + y^{2} =$ ， $x^{2} - y^{2} =$ ．

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8. 已知， $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 4 - x$ ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是.

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9. 已知a，b，c为三角形三边，则 $\sqrt{{(a + b - c)}^{2}} + \sqrt{{(b - c - a)}^{2}} + \sqrt{{(b + c - a)}^{2}}$ = ．

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10. 若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 $\sqrt{a^{2} - 6 a + 9} + | b - 4 | = 0$ 则该直角三角形的斜边长为．

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三、解答题

11. 化简： $\sqrt{- a^{3}} . \sqrt{a^{4} (- \frac{1}{a})}$ .

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12. 若x ， y为实数，且y＝ $\sqrt{1 - 4 x}$ ＋ $\sqrt{4 x - 1}$ ＋ $\frac{1}{2}$ ．求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}}$ － $\sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值．

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13. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b ⩾ 0)$ .
例如化简： $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，

这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，

由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，

所以 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7, \sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，

所以 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ .

根据上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ .

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14. 先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时，求 $\frac{1}{2} x^{3} - x^{2} - x + 2$ 的值.
为解答这道题，若直接把 $x = \sqrt{3} + 1$ 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因 $x = \sqrt{3} + 1$ ，得 $x - 1 = \sqrt{3}$ ，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 $x - 1 = \sqrt{3}$ ，可得 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ，即 $x^{2} - 2 x = 2$ ， $x^{2} = 2 x + 2$ .
原式 $= \frac{1}{2} x (2 x + 2) - x^{2} - x + 2 = x^{2} + x - x^{2} - x + 2 = 2$ .
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

(1)、若 $x = \sqrt{2} - 1$ ，求 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1$ 的值；

(2)、已知 $x = 2 + \sqrt{3}$ ，求 $\frac{x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 4 x + 3}$ 的值.

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15. 观察下列等式：
① $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 1 \times 3$ .

② $\sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 3 \times 5$ .

③ $\sqrt{37^{2} - 12^{2}} = 5 \times 7$ .

根据上述等式的规律解次下列问题：

(1)、完成第4个等式： $\sqrt{65^{2} - 16^{2}} =$

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式(用含 $n$ 的代数式表示），并证明其正确性.

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16. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： $(\sqrt{1 - 3 x})^{2} - | 1 - x |$
解：隐含条件 $1 - 3 x \geq 0$ ，解得： $x \leq \frac{1}{3}$
∴ $1 - x > 0$
∴原式 $= (1 - 3 x) - (1 - x) = 1 - 3 x - 1 + x = - 2 x$

(1)、【启发应用】
按照上面的解法，试化简 $\sqrt{(3 - x)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$ ；

(2)、【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(a + b)^{2}} - | b - a |$ ；

(3)、已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{(a + b + c)^{2}} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} + \sqrt{(b - a - c)^{2}} + \sqrt{(c - b - a)^{2}}$ ．

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17. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ （其中 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数），则有 $a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、若 $a + b \sqrt{7} = {(m + n \sqrt{7})}^{2}$ ，当 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数时，用含 $m$ 、 $n$ 的式子分别表示 $a$ 、 $b$ ，得： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若 $a + 6 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，且 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 均为正整数，求 $a$ 的值；

(3)、化简下列各式：
① $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$

② $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$

③ $\sqrt{4 - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}$ .

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