2013年高考理数真题试卷(上海卷)

试卷更新日期:2016-09-28 类型:高考真卷

一、填空题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.

  • 1. 计算: limn n+203n+13 =
  • 2. 设m∈R,m2+m﹣2+(m2﹣1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=
  • 3. 若 |x2y211|  = |xyyy| ,x+y=
  • 4. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0,则角C的大小是
  • 5. 设常数a∈R,若 (x2+ax)5 的二项展开式中x7项的系数为﹣10,则a=
  • 6. 方程 33x1 + 13 =3x1的实数解为
  • 7. 在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为
  • 8. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).
  • 9. 设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA= π4 ,若AB=4,BC= 2 ,则Γ的两个焦点之间的距离为
  • 10. 设非零常数d是等差数列x1 , x2 , …,x19的公差,随机变量ξ等可能地取值x1 , x2 , …,x19 , 则方差Dξ=
  • 11. 若cosxcosy+sinxsiny= 12 ,sin2x+sin2y= 23 ,则sin(x+y)=
  • 12. 设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+ a2x +7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为
  • 13. 在xOy平面上,将两个半圆弧(x﹣1)2+y2=1(x≥1)和(x﹣3)2+y2=1(x≥3),两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面积为4π 1y2 +8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为

  • 14. 对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f1(x),且f1([0,1))=[1,2),f1((2,4])=[0,1).若方程f(x)﹣x=0有解x0 , 则x0=

二、选择题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.

  • 15. 设常数a∈R,集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的取值范围为(   )
    A、(﹣∞,2) B、(﹣∞,2] C、(2,+∞) D、[2,+∞)
  • 16. 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的(   )
    A、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件
  • 17. 在数列(an)中,an=2n﹣1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为(   )
    A、18 B、28 C、48 D、63
  • 18. 在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1a2a3a4a5 ;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1d2d3d4d5 .若m、M分别为( ai + aj + ak )•( dr + ds + dt )的最小值、最大值,其中{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M满足(    )
    A、m=0,M>0 B、m<0,M>0 C、m<0,M=0 D、m<0,M<0

三、解答题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

  • 19. 如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.

  • 20. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣ 3x )元.
    (1)、要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
    (2)、要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
  • 21. 已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0
    (1)、若y=f(x)在[﹣ π42π3 ]上单调递增,求ω的取值范围;
    (2)、令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移 π6 个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.
  • 22. 如图,已知双曲线C1x22y2=1 ,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1 , C2都有公共点,则称P为“C1﹣C2型点”

    (1)、在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
    (2)、设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2型点”;
    (3)、求证:圆x2+y2= 12 内的点都不是“C1﹣C2型点”
  • 23. 给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a1 , a2 , a3 , …满足an+1=f(an),n∈N*

    (1)、若a1=﹣c﹣2,求a2及a3

    (2)、求证:对任意n∈N* , an+1﹣an≥c;

    (3)、是否存在a1 , 使得a1 , a2 , …,an , …成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.