湖南省长沙市重点中学2023-2024学年八年级上学期第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共10小题，每题3分）

1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{50}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $b^{3} \cdot b^{3} = 2 b^{3}$ B、 ${(a b^{2})}^{3} = a^{3} b^{6}$ C、 $a^{10} \div a^{2} = a^{5}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3. 新型冠状病毒的直径大约为0.000000125米，0.000000125用科学记数法表示为（）

A、 $0.125 \times 1 0^{6}$ B、 $0.125 \times 1 0^{- 6}$ C、 $1.25 \times 1 0^{7}$ D、 $1.25 \times 1 0^{- 7}$

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4. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（）

A、 $\frac{a + 3}{b + 3} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ C、 $\frac{a c}{b c} = \frac{a}{b}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$

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5. 把分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的x和y都扩大10倍，则分式的值（）

A、扩大10倍 B、扩大100倍 C、缩小10倍 D、不变

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6. 如果 $x^{2} + k x + 25$ 是一个完全平方式，那么k的值是（）

A、5 B、 $\pm 5$ C、10 D、 $\pm 10$

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7. 实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 $| b - a | + \sqrt{(2 a - b)^{2}}$ 的结果是（）

A、a B、 $- a$ C、 $3 a - 2 b$ D、 $- 3 a + 2 b$

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8. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设原计划每天植树x棵．则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{400}{x - 50} = \frac{300}{x}$ B、 $\frac{300}{x - 50} = \frac{400}{x}$ C、 $\frac{400}{x + 50} = \frac{300}{x}$ D、 $\frac{300}{x + 50} = \frac{400}{x}$

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9. 如图，已知锐角∠AOB，根据以下要求作图．
⑴在射线OA上取点C和点E，以点O为圆心，OC，OE的长为半径画弧，分别交射线OB于点D，F；
⑵连接CF，DE交于点P．
则下列结论错误的是（）

A、CE＝DF B、点P在∠AOB的平分线上 C、PE＝PF D、若∠AOB＝60°，则∠CPD＝120°

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10. 若分式方程 $\frac{a}{x + 2} = 1 - \frac{3}{x + 2}$ 的解为负数，则a的取值范围是（）

A、 $a < - 1$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a < 0$ 且 $a \neq - 2$ C、 $a < - 2$ 且 $a \neq - 3$ D、 $a < - 1$ 且 $a \neq - 3$

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二、填空题（本题共6小题，每题3分）

11. 平面直角坐标系中，点 $(3 ， - 4)$ 关于y轴的对称点的坐标是．

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12. 若二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

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13. 因式分解： $x^{3} - {xy}^{2}$ =.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 30 °$ ， DE垂直平分AB ，分别交BC ， AB于点D ， E ，若 $A D = 2$ ，则 $B C =$ ．

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15. 如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为.

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16. 已知 $m^{2} - 4 m + 1 = 0$ ，则代数式值 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}}$ = ．

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三、解答题（本题共9小题）

17. 计算： ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} - (π - 5)^{0} - \sqrt{8} + | - 2 \sqrt{2} |$ ．

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18. 先化简，再求代数式 $(\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 2}) \div \frac{x - 1}{4 x + 4}$ 的值，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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19. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点均在正方形网格的格点上．

(1)、请你画出 $△ A B C$ 关于x轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、请你在y轴上找到一点P ，使得 $P A + P B$ 最小．

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20. 已知： $x = \sqrt{2} + 3 ， y = \sqrt{2} - 3$ ，求下列代数式的值：

(1)、 $x^{2} - y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且点D在线段 $B C$ 上，连 $C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ E A C = 60 °$ ，求 $∠ C E D$ 的度数．

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22. 为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．

(1)、求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；

(2)、我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？

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23. 利用所学知识计算：

(1)、已知 $a > b$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 13 ， a b = 6$ ，求 $a - b$ 的值；

(2)、已知a、b、c是等腰 $△ A B C$ 的三边长，若 $a^{2} + b^{2} + 25 - 6 a - 8 b = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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24. 如果两个分式M与N的和为常数k ，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式常数k称为“和整值”如分式 $M = \frac{x}{x + 1} ， N = \frac{1}{x + 1} ， M + N = \frac{x + 1}{x + 1} = 1$ ，则M与N互为“和整分式”，“和整值” $k = 1$ ．

(1)、已知分式 $A = \frac{x - 7}{x - 2} ， B = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 2 x}$ ，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；

(2)、已知分式 $C = \frac{3 x - 4}{x - 2} ， D = \frac{G}{x^{2} - 4}$ ， C与D互为“和整分式”，且“和整值” $k = 3$ ，若x为正整数，分式D的值为正整数t ．
①求G所代表的代数式：
②求x的值：

(3)、在（2）的条件下，已知分式 $P = \frac{3 x - 5}{x - 3} ， Q = \frac{m x - 3}{3 - x}$ ，且 $P + Q = t$ ，若该关于x的方程无解，求实数m的值．

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25. 在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接AB ，以AB为腰作等腰 $R t △ A B C ， ∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是 $(2 ， - 2)$ ，求点A和点B的坐标；

(2)、如图2，点B在x轴负半轴上，AC交x轴于点D ，若BD平分 $∠ A B C$ ，且点C的纵坐标是 $- 3$ ，求线段BD的长；

(3)、如图3，点B在x轴正半轴上，以BC为边在BC左侧作等边 $△ B C E$ ，连接EO ， CO ，若 $∠ C O E = 60 °$ ，且 $C O = 8$ ，求 $△ A O C$ 的面积．

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