江西省南昌市经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共6题，每小题3分，共计18分．在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1. 如图所示图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 分别是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值是（）．

A、6 B、 $- 6$ C、5 D、 $- 5$

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3. 把拋物线 $y = x^{2}$ 的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（）

A、 $y = (x + 2)^{2} - 3$ B、 $y = (x + 2)^{2} + 3$ C、 $y = (x - 3)^{2} - 2$ D、 $y = (x - 3)^{2} + 2$

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4. 据悉，尽管巴以冲突带来的地缘风险加深了市场对原油供应短缺的担忧，参考原油变化率仍处于负值区间，2023年10月24日，新一轮成品油调价窗口开启，零售限价或遇“二连跌”，若92#汽油连续两次降价 $a %$ 后售价由8.1元降低至7.8元，下列所列方程正确的是（）

A、 $8.1 (1 + a %)^{2} = 7.8$ B、 $8.1 (1 - a %)^{2} = 7.8$ C、 $7.8 {(1 + a^{0})}^{2} = 8.1$ D、 $8.1 (1 - a^{2 %}) = 7.8$

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5. 如图， $△ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $△ O C D$ ，若 $∠ B O C = 15 ° ， ∠ A O D = 95 °$ ，当点 $C$ 怡好在 $A B$ 上时，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，动弦 $A B$ 与直径 $C D$ 相交于点 $E$ 且总有 $∠ B E D = 45 °$ ，则 $A E^{2} + B E^{2}$ 的值（）

A、随着 $O E$ 的增大而增大 B、随着 $O E$ 的增大而减小 C、随着 $O E$ 的增大先增大后减小 D、保持不变

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二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共计18分）

7. 已知 $x = 2$ 是方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的解，则 $m$ 的值为．

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8. 点 $A (a - 1 ， - 6)$ 与点 $B (- 3 ， 1 - b)$ 关于原点对称，则 $(a + b)^{2023}$ 的值为．

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9. 如图1， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 为 $⊙ O$ 的弦， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为．

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10. $m 、 n$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2023 = 0$ 的两根，则 $m^{2} + 4 m + m n + n$ 的值是．

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11. 如图2，在扇形 $E O F$ 中放置有三个全等的矩形方格，点 $O$ 为扇形的圆心，格点 $A 、 B 、 C$ 分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个矩形方格的长和宽分别为 $\sqrt{3}$ 和1，则阴影部分的面积为．

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12. 已知等腰 $△ A B C$ 接于半径为5的 $⊙ O$ ，圆心 $O$ 到 $B C$ 的距离为3，则这个等腰 $△ A B C$ 中底边上的高可能是．

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三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共计30分）

13. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ；

(2)、 $5 x - 2 = (2 - 5 x) (3 x + 4)$ ．

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14. 通过配方，确定抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 的顶点坐标，并直接写出当 $- 3 < x < 3$ 时， $y$ 的取值范围．

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15. 如图所示，已知扇形 $A O B$ 的半径为 $6 c m$ ，圆心角的度数为 $120 °$ ，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高以及圆锥的全面积．

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16. 如图，已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A = 45 °$ ，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)、在图1的 $⊙ O$ 上作点D，使 $△ B C D$ 为等腰直角三角形；

(2)、在图2的 $⊙ O$ 上作点M，N，使四边形 $B C M N$ 为正方形．

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17. 如图， $A B 、 C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O M ⊥ A B ， O N ⊥ C D$ ，垂足分别为 $M 、 N$ ，且 $∠ A M N = ∠ C N M$ ．

(1)、 $O M$ 与 $O N$ 相等吗？为什么？

(2)、判断 $A B$ 与 $C D$ 是否相等，并说明理由．

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四、解答题（本大题共3题，每小题8分，共计24分）

18. 定义：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $b = a c$ ．则称此方程为“蚊龙”方程．

(1)、当 $b < 0$ 时，判断此时“蛟龙”方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 解的情况，并说明理由．

(2)、若“蛟龙”方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ 有两个相等的实数根，请解出此方程，

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19. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 内的一点，连接 $P A ， P B ， P C$ ．将 $△ P A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ P^{'} A B$ 的位置．

(1)、设 $A B$ 的长为 $a ， P B$ 的长为 $b (b < a)$ ，求 $△ P A B$ 旋转到 $△ P^{'} A B$ 的过程中边 $P A$ 所扫过区域（图中阴影部分）的面积．

(2)、若 $P A = 2 ， P B = 4 ， ∠ A P B = 135 °$ ，求 $P C$ 的长．

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20. 商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为 $x (50 < x < 100)$ 元．

(1)、该商场平均每月可售出件商品（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？

(3)、该商场决定每销售一件商品就捐赠 $a$ 元利润 $(a \geq 1)$ 给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随 $x$ 增大而减小，求 $a$ 的取值范围．

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五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共计18分）

21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是劣弧 $B D$ 中点， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ．连接 $B C ， ∠ B C F = ∠ B A C ，$ $C F$ 与 $A B$ 的延长线相交于点 $F$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $∠ A C D = ∠ F$ ；

(3)、若 $A B = 10 ， B C = 6$ ，求 $A D$ 的长．

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22. 将一副直角三角板如图1，摆放在直线 $M N$ 上（直角三角板 $A B C$ 和直角三角板 $E D C$ ， $∠ E D C = 90 ° ， ∠ D E C = 60 ° ， ∠ A B C = 90 ° ， ∠ B A C = 45 °$ ），保持三角板 $E D C$ 不动，将三角板 $A B C$ 绕点 $C$ 以每秒 $5 °$ 的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当 $A C$ 与射线 $C N$ 重合时停止旋转．

(1)、如图2，当 $A C$ 为 $∠ D C E$ 的角平分线时，求此时的值；

(2)、当 $A C$ 旋转至 $∠ D C E$ 的内部时，求 $∠ D C A$ 与 $∠ E C B$ 的数量关系；

(3)、在旋转过程中，当三角板 $A B C$ 的其中一边平行于三角板 $E D C$ 的某一边时，求此时t等于（直接写出答案即可）．

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六、解答题（本大题共1题，每小题12分，共计12分）

23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - x - 2$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，二次函数的图象 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点A、B ．

(1)、 $b =$ ， $c =$ ；

(2)、若点 $M$ 是第三象限内抛物线上的一动点，过点 $M$ 作 $M C$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为点 $C$ ，交直线 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $A M$ ，当 $S_{△ A D M} = S_{△ A D C}$ 时：
①求点 $M$ 的坐标；
②直线 $M C$ 上是否存在点 $E$ ，使 $△ A B E$ 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、抛物线上是否存在点 $N$ （不与点 $A 、 B$ 重合），使得 $O 、 A 、 B 、 N$ 四点共圆，如果存在求出点 $N$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

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