河北省沧州市2023-2024学年八年级上学期第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分；7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列命题不正确的是（）

A、从n边形的一个顶点出发，可以作 $(n - 3)$ 条对角线 B、两个全等三角形对应边上的高相等 C、若两个三角形全等，则它们一定关于某条直线成轴对称 D、有两个内角分别为 $70 °$ 与 $40 °$ 的三角形是等腰三角形

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3. 已知点 $A (x ， 3)$ 与点 $B (2 ， y)$ 关于y轴对称，那么 $x + y$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$ B、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{0} = 1 (a \neq 0)$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D ， E$ 是 $A C$ 上两点，且 $A E = D E$ ， $B D$ 平分 $∠ E B C$ ，那么下列说法中不正确的是（）

A、 $B E$ 是 $△ A B D$ 的中线 B、 $B D$ 是 $△ B C E$ 的角平分线 C、 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ D、 $B C$ 是 $△ B D E$ 的高

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6. 如图， $A B = A C$ ，若要使 $△ A B E ≌ △ A C D$ ，则添加的一个条件不能是（）

A、 $∠ B = ∠ C$ B、 $B D = C E$ C、 $B E = C D$ D、 $∠ A D C = ∠ A E B$

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7. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于直线l对称，若 $∠ A = 55 °$ ， $∠ E = 85 °$ ，则 $∠ F =$ （）

A、 $85 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $40 °$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B A C = 75 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点F ，交 $A C$ 于点E ，则图中共有等腰三角形（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9. 如图是一个平分角的仪器，其中 $A B = A D$ ， $B C = D C$ ．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定 $△$ ABC和 $△$ ADC是全等三角形的依据是（）

A、SSS B、ASA C、SAS D、AAS

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 7$ ， $A C = 4$ ，直线m是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边的垂直平分线，交 $A B$ 于点P ，则 $△ A P C$ 的周长为（）

A、6 B、10 C、11 D、13

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11. 要使多项式 $(x + m) (x - 2)$ 不含x的一次项，则m的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、 $- 2$

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12. 下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）

A、等边三角形 B、正方形 C、正八边形 D、圆

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C < 90 °$ ，尺规作图痕迹如图所示．结论Ⅰ：连接 $C F$ ，则 $B F = C F$ ；结论Ⅱ：点F到 $△ A B C$ 三边距离相等．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ对、Ⅱ不对 C、Ⅱ对，Ⅰ不对 D、Ⅰ和Ⅱ都不对

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14. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行，10时到达海岛B处，分别从A、B两海岛望灯塔C ，测得 $∠ N A C = 35 °$ ， $∠ N B C = 70 °$ ，则从海岛B到灯塔C的距离为（）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

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15. 小明有足够多的如图所示的正方形卡片 $A$ ， $B$ 和长方形卡片 $C$ ，如果他要拼一个长为 $(a + 2 b)$ ，宽为 $(2 a + b)$ 的大长方形，共需要 $C$ 类卡片（）

A、3张 B、4张 C、5张 D、6张

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 21 c m$ ， $A C = 12 c m$ ， $∠ A = 60 °$ ，点P从点B出发以每秒 $3 c m$ 的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒 $2 c m$ 的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当 $△ A P Q$ 为直角三角形时，t的值为（）

A、 $2.5$ 秒 B、3秒 C、 $2.5$ 或3秒 D、3或 $\frac{21}{4}$ 秒

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）

17. 已知 $2^{2} \cdot 8 = a^{5}$ ，则 $a =$ ．

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18. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示，正六边形边长为3且各有一个顶点在直线l上，则图1中螺母组成的图形的周长（图中加粗部分总长度）为；两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图11-2所示，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，正六边形边 $A B ⊥$ 直线l ．则 $∠ α =$ ．

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19. 如图，已知 $∠ M O N = 30 °$ ，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …在射线 $O N$ 上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …在射线 $O M$ 上， $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} B_{3} A_{4}$ ， …均为等边三角形，若 $O A_{1} = 3$ ，则 $A_{1} A_{2} = 3$ ， $A_{2} A_{3} = 6$ ， ……
⑴ $△ A_{5} B_{5} A_{6}$ 的边长为；⑵ $△ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ 的边长为．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 已知关于x的多项式M ，当 $M + 4 {(x + 1)}^{2} = (3 x + 1) (x - 1)$ 时，完成下列各题：

(1)、求多项式M；

(2)、①若 $5^{x - 6} = 1$ ，求多项式M的值；
②若 $x^{2} + 10 x - 1 = 0$ ，求多项式M的值．

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21. 已知 $△ A B C$ 的三边分别为a、b、c ，且 ${(a - 5)}^{2} + | c - 3 | = 0$ ．

(1)、求a ， c的值；

(2)、若b为奇数，求 $△ A B C$ 的周长．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点E ，过点E作 $M N ∥ B C$ 交 $A B$ 于点M ，交 $A C$ 于点N ，若 $A B = 8 c m$ ， $A C = 13 c m$ ．

(1)、求证： $M B = M E$ ；

(2)、求 $△ A M N$ 的周长．

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23. 发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．

(1)、验证：如， ${(3 + 1)}^{2} + {(3 - 1)}^{2} = 20$ 为偶数，请把20的一半表示为两个正整数的平方和．

(2)、探究：设“发现”中的两个已知正整数为a、b ，请论证“发现”中的结论正确．

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24. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形，每个小正方形的顶点称为格点）中完成下列各题：

(1)、画出格点 $△ A B C$ （顶点均在格点上）关于直线 $D E$ 对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在 $D E$ 上画出点P ，使 $P B + P C$ 最小；

(3)、在 $D E$ 上画出点Q ，使Q到B ， C两点的距离相等；

(4)、四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 的面积为．

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25. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于直线 $M N$ 对称， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ 关于直线 $E F$ 对称．

(1)、作出直线 $E F$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、直线 $M N$ 与 $E F$ 相交于点O ，且直线 $M N$ ， $E F$ 所夹锐角 $α = 60 °$ ，求 $∠ B O B^{″}$ 的度数；

(3)、在（2）的条件下，小颖得出 $∠ C C^{'} C^{″} = ∠ B O B^{″}$ ，请你运用所学知识判断小颖的结论是否正确，并说明理由．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为 $(2 ， 0)$ ，以线段 $O B$ 为边在第一象限内作等边 $△ A O B$ ，动点D从点B出发以每秒1个单位长度的速度从左向右在x轴正半轴上运动，设运动时间为t秒．连接 $A D$ ，以线段 $A D$ 为边在第一象限内作等边 $△ A C D$ ，连接 $C B$ 并延长，交y轴于点E ．

(1)、求证： $B C = A B + B D$ ；

(2)、在点D的运动过程中， $∠ C B D$ 的度数是否会变化？如果不变，请求出 $∠ C B D$ 的度数；如果变化，请说明理由．

(3)、当t为何值时，以B ， E ， D为顶点的三角形是等腰三角形？

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