湖南省长沙市重点学校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 二次函数 $y = 2 (x + 1)^{2} + 3$ 的顶点坐标为（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， - 3)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 3)$

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3. 反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ ，那么下列各点中在此函数图象上的点是（）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(4 ， 1)$

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4. 下列结论中，正确的是（）

A、等弧所对的圆周角相等 B、“ $a$ 是实数， $| a | \geq 0$ ”是随机事件 C、平分弦的直径垂直于弦 D、某彩票中奖的概率是 $1 %$ ，那么买100张彩票一定会有一张中奖

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5. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，点 $B ， E$ 分别在 $A C ， D F$ 上， $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3} ， E F = 6 ， D E$ 的长（）

A、3 B、4 C、5 D、10

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6. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转40°得到 $△ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在边BC上，则 $∠ A D E$ 的度数为（）

A、40° B、70° C、80° D、75°

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $O A 、 O C$ ，若 $∠ B = 136 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $44 °$ B、 $54 °$ C、 $88 °$ D、 $108 °$

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8. 一次函数 $y_{1} = m x + n$ 和反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 1$ B、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 1$ C、 $x < - 2$ 或 $x > 1$ D、 $- 2 < x < 1$

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9. 边长分别为6，8，10的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（）

A、 $1 ： 5$ B、 $4 ： 5$ C、 $2 ： 10$ D、 $2 ： 5$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别是 $B C 、 D C$ 边上的两点，且 $∠ E A F = 45 ° ， A E 、 A F$ 分别交 $B D$ 于 $M 、 N$ ．对于下列结论：
① $△ A B N ∽ △ M D A$ ；② $A M \cdot A E = A N \cdot A F$ ；③ $\frac{S_{△ A M N}}{S_{△ A E F}} = \frac{1}{2}$ ；④当 $A B = 1$ 时， $△ A E F$ 面积的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题（每小题3分，6个小题，共18分）

11. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是．

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12. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B ， △ A B O$ 的面积为3，则 $k$ 的值为．

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13. 如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为 $5 c m$ ，管道内水的最大深度 $C D = 2 c m$ ，则截面圆中弦 $A B$ 的长为 $c m$ ．

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14. 已知圆锥的母线长为 $6 c m$ ，底面半径为 $2 c m$ ，则它的侧面展开扇形的面积为 $c m^{2}$ ．

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15. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点， $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $B E = 2 ， E C = 3 ， D F = 10$ ，则 $B F$ 为．

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16. 如图， $⊙ O$ 的半径为1，直线 $A B$ 的解析式为 $y = x + 4$ ，点 $P$ 是直线 $A B$ 上一动点，点 $Q$ 是 $⊙ O$ 上一动点，则 $P Q$ 的最小值为．

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三、解答题（共9小题，第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）

17. 计算： $(\sqrt{3} - 1)^{0} + | \sqrt{2} - 1 | + (- 1)^{2024} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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18. 先化简，再求值： $(2 + a) (2 - a) + (a - 2)^{2}$ ，其中 $a = 2 - \sqrt{3}$ ．

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19. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A (- 1 ， 2) ， B (2 ， n)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

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20. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：

(1)、本次抽样调查的总人数为 ▲ ，请将图形补充完整.

(2)、扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为 ▲ .若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有多少人?

(3)、通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学到市上参加新一轮比赛.请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率．

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点， $D F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．

(1)、证明 $△ A B E ∽ △ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = 6$ ， $B E = 4$ ，求 $D F$ 的长．

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22. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量 $y$ （个）与销售单价 $x$ （元）满足如图所示的一次函数关系．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？

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23. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $B C 、 A C$ 交于点 $D 、 E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图1，若 $⊙ O$ 的半径为 $3 ， ∠ C D F = 15 °$ ，求阴影部分的面积；

(3)、如图2，若 $D F = 6 ， A B = 13$ ，求 $C D$ 的值．

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24. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点 $P (x_{1} ， y_{1}) 、 Q (x_{2} ， y_{2})$ ，如果满足 $y_{1} - x_{1} = y_{2} - x_{2}$ ，那么称 $P 、 Q$ 两点互为“等差点”．

(1)、请判断在点 $A (2 ， - 1) 、 B (1 ， 4) 、 C (- 2 ， - 1)$ 中，有哪些点与点 $D (- 1 ， 2)$ 互为“等差点”？

(2)、已知点 $E$ 在直线 $y = x - 2$ 上，点 $F$ 在双曲线 $y = \frac{k^{2} - 1}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k \neq \pm 1$ ）上，且 $E 、 F$ 两点互为“等差点”．请求出点 $F$ 的坐标（用含 $k$ 的代数式表示）；

(3)、已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + 2$ （ $a ， b$ 为常数且 $a \neq 0 、 b \neq 0$ ）的顶点为 $G$ 点，与 $x$ 轴交于 $M 、 N$ 两点， $G M ⊥ G N ， P 、 Q$ 两点分别在抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + 2$ 和直线 $y_{2} = \frac{b}{2} x - 3$ 上，如果 $P 、 Q$ 两点互为“等差点”，且 $P 、 Q$ 两点的横坐标是一元二次方程 $a x^{2} + \frac{3 b - 4}{2} x + \frac{7}{2} = 0$ 的两根，求 $3 a - b$ 的值．

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25. 在圆 $O$ 中，弦 $A B 、 C D$ 交于点 $P$ ．

(1)、如图1，已知 $A B = C D$ ，求证： $P B = P D$ ；

(2)、如图2，在（1）的条件下，连接 $O P 、 O A 、 O D$ ，若 $P O = P A$ ，求证： $△ D O P ∽ △ O E P$ ；

(3)、如图3， $G$ 为线段 $P B$ 上一点，已知 $P G = 3 ， 1 \leq G B \leq 2 ， B G \cdot P D = B C \cdot A D ， \frac{A P}{P C} = k$ ，当 $2 P D - B C^{2}$ 的最大值为12时，求 $k$ 的值．

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