山西省朔州市怀仁市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-18 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每题3分，总共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若三角形三边的长均能使代数式 $(x - 6) (x - 3)$ 的值为零，则此三角形的周长是（）

A、9或18 B、12或15 C、9或15或18 D、9或12或15

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3. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，点 $C ， D$ 在圆上且在直径 $A B$ 的两侧，若 $∠ B A C = 25 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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4. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax²+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 化为 $(x + m)^{2} = n (n \geq 0)$ 的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（）

A、数形结合思想 B、函数思想 C、转化思想 D、公理化思想

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 70 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $△ A B^{'} C^{'}$ 的位置，使得 $C C^{'} ∥ A B$ ，则 $∠ B A B^{'}$ 的度数是（　　）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $70 °$

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7. 将抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = - 2 {(x + 3)}^{2} + 2$ B、 $y = - 2 {(x + 3)}^{2}$ C、 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ D、 $y = - 2 {(x - 3)}^{2}$

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8. 如图， $P A$ ， $P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点A ， B ，点C在 $A B$ 上，若四边形 $A C B O$ 为菱形，则 $∠ A P B$ 为（　　）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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9. 在研究二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 时，下面是某小组列出的部分 $x$ 和 $y$ 的对应值：
$x$
…
$- 8$
$- 5$
$- 3$
$- 1$
1
…
$y = a x^{2} + b x + c$
…
$- 22$
8
8
$- 8$
$- 40$
…
根据表格可知，下列说法中错误的是（）

A、该二次函数图象的对称轴是直线 $x = - 4$ B、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = - 8$ 的解是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 7$ C、 $y$ 的最大值是8 D、 $a + b + c$ 的值是 $- 40$

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10. 如图是某公园在一长 $35 m$ ，宽 $23 m$ 的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的 $\frac{1}{5}$ ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为 $x m$ ，则 $x$ 满足的方程为（）

A、 $(35 - x) (23 - x) = \frac{4}{5} \times 23 \times 35$ B、 $(35 - x) (23 - x) + 2 x^{2} = 23 \times 35$ C、 $(35 - x) (23 - x) = \frac{1}{5} \times 23 \times 35$ D、 $(35 - x) (23 - x) = 23 \times 35$

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二、填空题（每题3分共15分）

11. 若关于x的方程 $x^{2} + 2 k x + k^{2} + k + 3 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k^{2} + k + 3$ 的值为．

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12. 若点 $A (2 ， y_{1}) ， B (- 3 ， y_{2}) ， C (- 1 ， y_{3})$ 三点在抛物线 $y = x^{2} - 4 x - m$ 的图象上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（用“<”连接）．

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13. 如图， $A C ， B D$ 是 $⊙ O$ 的两条相交弦， $∠ A C B = ∠ C D B = 60 ° ， A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $⊙ O$ 的直径是．

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = b x + c$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 3 ， 6)$ ， $B (1 ， 3)$ ，则不等式 $a x^{2} - b x - c \geq 0$ 的解集是．

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15. 如图，某同学拿着含 $45 °$ 角的直角三角板绕点C逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ M N C$ ，连结 $B M$ ，与AC相交于点O ．已知 $C M = 4$ ，则OC的长为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解下列方程

(1)、 $2 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $(2 x - 3)^{2} = 10 x - 15$

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17. 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．

(1)、以O为中心作出△ABC的中心对称图形△A₁B₁C₁ ，并写出点B₁坐标；

(2)、以格点P为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，且使点A的对应点A′的恰好落在△A₁B₁C₁的内部格点上（不含△A₁B₁C₁的边上），写出点P的坐标，并画出旋转后的△A′B′C′．

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18. 阅读理解，并解决问题：
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．

例：当代数式 $x^{2} + 3 x + 5$ 的值为7时，求代数式 $3 x^{2} + 9 x － 2$ 的值．

解：因为 $x^{2} + 3 x + 5 = 7$ ，所以 $x^{2} + 3 x = 2$ ．

所以． $3 x^{2} + 9 x － 2 = 3 （ x^{2} + 3 x ）－ 2 = 3 \times 2 － 2 = 4$

以上方法是典型的整体代入法．

请根据阅读材料，解决下列问题：

(1)、已知 $a^{2} + 3 a － 2 = 0$ ，求 $5 a^{3} + 15 a^{2} － 10 a + 2020$ 的值．

(2)、我们知道方程 $x^{2} + 2 x － 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1 ， x_{2} = － 3$ ，现给出另一个方程 $（ 2 x + 3 ）^{2} + 2 （ 2 x + 3 ）－ 3 = 0$ ，则它的解是．

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19. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，过O作 $O D ⊥ A C$ 于点E ，延长 $O E$ 至点D ，连接 $C D$ ，使 $∠ D = ∠ A$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = C D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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20. 太原市某商场进价为100元的某品牌衣服，在销售期间发现，当销售单价定价为200元时，每天可卖出100件．临近2023年十一国庆，商家决定开启大促销活动，经过调研发现：当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件．设该品牌衣服每件降价x元．

(1)、求每天的销售量y（件）关于x（元）的函数关系式．

(2)、在销售单价不低于150元的前提下，计算出该品牌衣服的销售单价定为多少元时，商场每天获利13600元．

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21. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 $\frac{5}{3} m$ ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

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22. 综合与实践
问题情境：在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O ，点O又是正方形 $O E F G$ 的一个顶点（正方形 $O E F G$ 的边长足够长），将正方形 $O E F G$ 绕点O做旋转实验， $O E$ 与 $B C$ 交于点M ， $O G$ 与 $D C$ 交于点N.如图1“求实小组”写出的两个数学结论是：① $B M = C N$ ； ② $B M^{2} ＋ D N^{2} = 2 O N^{2}$ .

(1)、问题解决：
请你证明“求实小组”所写的两个结论的正确性.

(2)、类比探究：如图2
解决完“求实小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题﹔如图2，将正方形 $O E F G$ 在图1的基础上旋转一定的角度，当 $O E$ 与 $C B$ 的延长线交于点M ， $O G$ 与 $D C$ 的延长线交于点N ，则“求实小组”所写的两个结论是否仍然成立?请说明理由.

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点．

(1)、请直接写出点A ， B ， C的坐标；

(2)、是否存在这样的点 $P$ ，使得 $S_{△ C O P} = S_{△ B O P}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点 $Q$ 是直线 $B C$ 上一点，是否存在点 $Q$ ，使得以点 $A 、 C 、 Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	…	$- 8$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	1	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	$- 22$	8	8	$- 8$	$- 40$	…