安徽省亳州市蒙城县城区联盟校2023-2024学年九年级上学期第三次联考数学试题

试卷更新日期：2024-01-17 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B，C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 13 ， B C = 12$ ，下列三角函数正确的是（）

A、 $s i n B = \frac{12}{13}$ B、 $c o s A = \frac{12}{13}$ C、 $t a n B = \frac{5}{12}$ D、 $c o s B = \frac{12}{5}$

查看试题解析
2. 如图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $\frac{C D}{C B} = \frac{A D}{D F}$ B、 $\frac{D F}{A D} = \frac{B C}{C E}$ C、 $\frac{A D}{A F} = \frac{B E}{B C}$ D、 $\frac{A D}{D F} = \frac{B C}{C E}$

查看试题解析
3. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过 $A (- 1 ， - 2)$ ，则以下说法错误的是（）

A、 $k = 2$ B、图象也经过点 $B (2 ， 1)$ C、 $x > 0 ， y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $x < - 1$ 时， $y < - 2$

查看试题解析
4. 如图， $△ A B C$ 的顶点是正方形方格的格点，则 $t a n ∠ A C B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

查看试题解析
5. 如图，在离铁塔100米的 $A$ 处，用测角器测得塔顶的仰角为 $α$ ，测角器高 $A D$ 为1.4米，则铁塔的高 $B C$ 为（）

A、 $(1.4 + 100 t a n α)$ 米 B、 $(1.4 + \frac{100}{t a n α})$ 米 C、 $(1.4 + \frac{100}{s i n α})$ 米 D、 $(1 ， 4 + 100 s i n α)$ 米

查看试题解析
6. 如图，点E是 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，且 $\frac{D E}{A E} = \frac{1}{2}$ ，连接 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，若 $D E = 3 ， D F = 4$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、21 B、28 C、34 D、42

查看试题解析
7. 杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件 $x$ 元（ $20 \leq x \leq 30$ ，且 $x$ 为整数）出售，可卖出 $(30 - x)$ 件，要使利润最大，每件的售价应为（）

A、24元 B、25元 C、28元 D、30元

查看试题解析
8. 在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 各顶点的坐标分別为 $O (0 ， 0) ， A (1 ， 2) ， B (0 ， 3)$ ，以点 $O$ 为位似中心， $△ O A^{'} B^{'}$ 与 $△ O A B$ 位似，若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐等为 $(0 ， - 6)$ ，则点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 坐标为（）

A、 $(- 2 ， - 4)$ B、 $(- 4 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， - 4)$ D、 $(1 ， - 4)$

查看试题解析
9. 如图，在 $△ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，延长 $A B$ 到点 $D$ ，使 $B D = A B$ ，连接 $C D$ ，若 $t a n ∠ B C D = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{B C}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
10. 已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 ° ， B C = 4 \sqrt{3} ， A D ⊥ B C ， B E ⊥ A C$ ，垂足分别为 $D ， E ， A D ， B E$ 相交于点 $G$ ，则 $D G$ 的长度的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{a} =$ ．

查看试题解析
12. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象上，则点C的坐标为．

查看试题解析
13. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B$ 都是锐角，且 ${(s i n A - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + (t a n B - 1)^{2} = 0$ ，则 $△ A B C$ 是三角形．

查看试题解析
14. 如图，现有一矩形纸片 $A B C D ， A C$ 为姖形 $A B C D$ 的对角线， $∠ C A D = 30 ° ， A D = 4 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一点，沿线段 $D E$ 将 $△ D E C$ 折叠为 $△ D E F$ ，折痕 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $F G$ ，作点 $G$ 关于直线 $D F$ 对称的点 $H$ ，点 $H$ 恰好落在对角线 $A C$ 上，连接 $D H ， F H$ ．

(1)、 $∠ A G D$ 的大小为；

(2)、 $C E$ 的长为．

查看试题解析

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 计算： $c o s 60 ° - 2 s i n^{2} 45 ° + \frac{3}{2} t a n^{2} 30 ° - s i n 30 °$ ．

查看试题解析
16. 如图，在△ABC中， $∠ A = 30 °$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ， $AC = 6 \sqrt{3}$ ，求AB的长．

查看试题解析

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的顶点均为格点（网格线的交点）．

(1)、将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请作出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以点 $O$ 为位似中心，在第四象限将 $△ A B C$ 大2倍得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请作出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

查看试题解析
18. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (- 2 ， 1) ， B (1 ， n)$ 两点．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、请根据图象，直接写出 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时 $x$ 的取值范围．

查看试题解析

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 11月10日，2023年“飞向北京・飞向太空”全国青少年航空航天模型教育竞赛活动（无人机项目）总决赛在北京世园公园举行，来自全国各地的3000余名航模运动员参加比赛．无人机从地面 $A$ 处起飞， $B 、 C$ 分别为距离 $A$ 点30米的两处监控点，且 $A 、 B 、 C$ 三点在同一条直线上．某团队操作的无人机从 $A$ 点垂直起飞到达 $D$ 处时，在 $C$ 监控点测得点 $D$ 的仰角为 $30 °$ ， 5秒钟后，无人机直线上升到 $E$ 处，在 $B$ 监控点测得点 $E$ 的仰角为 $53 °$ ，求无人机从 $D$ 到 $E$ 的平均速度．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73 ， s i n 53 ° \approx 0.80 ， c o s 53 ° \approx 0.60 ， t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

查看试题解析
20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 3 ， D$ 为 $A C$ 延长线上一点， $A C = 3 C D ， ∠ C B D = ∠ A$ ，过 $D$ 作 $D H ∥ A B$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、求证： $△ H C D ∽ △ H D B$ ；

(2)、求 $B H$ 的长．

查看试题解析

六、（本题满分12分）

21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D ， E$ 为 $A D$ 上一点，且 $A E ： E D = 7 ： 5$ ，连接 $C E$ 并延长交边 $A B$ 于点 $F ， A C = 13 ， B C = 8 ， c o s ∠ A C B = \frac{5}{13}$ ．

(1)、求 $t a n ∠ D C E$ 的值；

(2)、求 $\frac{A F}{B F}$ 的值．

查看试题解析

七、（本题满分12分）

22. 欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为 $L$ 的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．现在，我们也把顶角为 $36 °$ 的等腰三角形叫黄金三角形．
图1 图2

(1)、如图1，在 $△ A B C$ ， $∠ A = 36 ° ， A B = A C ， ∠ A C B$ 的平分线 $C D$ 交腰 $A B$ 于点 $D$ ．请你根据上述材料利用所学知识，证明点 $D$ 为腰 $A B$ 的黄金分割点；

(2)、如图2，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D$ 为斜边 $A B$ 上的高， $A B = \sqrt{5} + 1$ ，若 $D$ 是 $A B$ 的黄金分割点 $(A D > D B)$ ，求 $B C$ 的长．

查看试题解析

八、（本题满分14分）

23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 3 x + c$ 经过 $A (0 ， 4)$ 和 $B (\frac{13}{3} ， - \frac{16}{9})$ 两点，与 $x$ 轴交于 $M 、 N$ 两点（ $N$ 在 $M$ 的右侧），直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C ， P$ 是直线 $A B$ 上方的抛物线上的一个动点， $P D ⊥ x$ 轴交 $A B$ 于点 $D$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点 $P$ 与点 $N$ 重合，连接 $P A$ ，求 $∠ D A P$ 的正弦值；

(3)、作 $P E ∥ x$ 轴交 $A B$ 于点 $E$ ，若 $S_{△ P E D} = \frac{2}{3}$ ，求点 $E$ 的坐标．

查看试题解析