江西省九江市修水县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-17 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）

1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）

A、 $2 x^{2} + x y = 3$ B、 $x^{2} + \frac{3}{x} - 5 = 0$ C、 $x^{2} = 1$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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2. 下列说法中错误的是（）

A、对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、对角线相等的平行四边形是矩形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、有一组邻边相等的矩形是正方形

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，过点 $D$ 作 $D E / / B C$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $A D = 2$ ， $B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 某校举办文艺会演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，延长 $A B$ 到点 $E$ ，使 $A E = A C$ ，则 $∠ B C E$ 的度数是（）

A、 $62 . 5^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $32 . 5^{∘}$ D、 $22 . 5^{∘}$

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6. 两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗屋子里的一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm处，小宇测得蜡烛的火焰高度为4cm，则光屏上火焰所成像的高度为（）

A、8cm B、6cm C、5cm D、4cm

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 配方后得 ${(x - 1)}^{2} = n$ ，则 $m + n$ 的值是．

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8. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{4}{3}$ ，若 $b + d + f = 15$ ，则 $a + c + e =$ ．

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9. 一个不透明的布袋中装有红色、蓝色、白色球共60个，这些球除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在 $0.15$ ，则布袋中红色球可能有个．

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10. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，相似比为 $2$ ： $3$ ，则 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的面积比是．

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11. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} 和 x_{2}$ ，则 ${x_{1}}^{2} - 2 x_{1} + x_{2}$ 的值为．

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12. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 6 0^{∘} ， A B = 8$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上， $C E = 4 \sqrt{3}$ ．若点 $P$ 是菱形 $A B C D$ 四条边上异于点 $E$ 的一点， $C E = C P$ ，则 $D P$ 的长为．

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三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ ；

(2)、 $3 x^{2} - 1 = 2 x$ ．

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14. 已知关于x的方程 $x^{2} + 2 x + m - 2 = 0$ ，当该方程的一个根为 $- 3$ 时，求m的值及方程的另一个根．

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15. 为了落实“双减”政策，弘扬非遗（非物质文化遗产）传统文化，某校拟组织课外兴趣班的同学参观以下项目：A（修水陶艺），B（修水采茶戏），C（九江山歌），D（德安潘公戏）．小明和小涵随机报名参观其中一项．

(1)、“小明参观九江山歌”这一事件是；（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件；②不可能事件；③随机事件．

(2)、请用列表或画树状图的方法，求小明和小涵参观的项目都是修水的非物质文化遗产的概率．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $P ， M$ 分别是 $A D ， C D$ 的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
图1 图2

(1)、在图1中，作出 $△ A P B$ 的 $B P$ 边上的中线；

(2)、在图2中，以 $P M$ 为边作一个菱形．

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17. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心．某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．

(1)、如果第二天、第三天收到的捐款的增长率相同，求捐款的增长率．

(2)、按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

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四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图， $A B / / C D$ ， $A C 和 B D$ 交于点 $E$ ，且 $A B = 6 ， A E = 3 ， A C = 12$ ．

(1)、求 $C D$ 的长．

(2)、求证： $△ A B E ∽ △ A C B$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $B D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $B E / / D C$ ， $B E = D C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $B D C E$ 为菱形．

(2)、连接 $D E$ ，若 $∠ A C B = 6 0^{∘}$ ， $B C = 4$ ，求 $D E$ 的长．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，四边形 $A B D E$ 是平行四边形， $A C ， D E$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形．

(2)、若 $∠ A O E = 6 0^{∘}$ ， $A E = 4$ ，求 $A D$ 的长．

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五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 已知关于x的方程 $x^{2} + (3 k - 2) x - 6 k = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 取何实数值，方程总有实数根．

(2)、若等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另两边长 $b ， c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $△ A B C$ 的周长．

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22. 如图， $A B ⊥ B C$ ， $D C ⊥ B C$ ， $E$ 是 $B C$ 边上一点，且 $A E ⊥ D E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ E C D$ ．

(2)、若 $A B = 4 ， A E = B C = 5$ ，求 $C D$ 的长．

(3)、当 $△ A E D ∽ △ E C D$ 时，请写出线段 $A D ， A B ， C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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六、（本大题共12分）

23. 将正方形 $A B C D$ 与正方形 $D E F G$ 按图1所示方式放置，点 $A ， D ， G$ 在同一条直线上，点 $E$ 在 $C D$ 边上， $A D = 3 ， D E = \sqrt{2}$ ，连接 $A E ， C G$ ．
图1 图2

(1)、线段 $A E 与 C G$ 的关系为．

(2)、将正方形 $D E F G$ 绕点 $D$ 顺时针旋转一个锐角后，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

(3)、在正方形绕点 $D$ 顺时针旋转一周的过程中，是否存在 $∠ A E C = 9 0^{∘}$ 的时刻？若存在，请直接写出此时AE的长；若不存在，请说明理由．

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