广东省汕头市潮阳区关埠镇2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-16 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）．

1. 一元二次方程 $x^{2} = 5 x$ 的根是（）

A、 $x = 5$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = - 5$ ， $x_{2} = 0$

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、圆 C、正五边形 D、扇形

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3. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则∠BPC的度数为（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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4. 一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同，从中任意換出一个球是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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5. 若关于x的方程 $x^{2} - x - m = 0$ 有实数根，则实数m的取值的范围是（）

A、 $m < \frac{1}{4}$ B、 $m \leq \frac{1}{4}$ C、 $m \geq - \frac{1}{4}$ D、 $m > - \frac{1}{4}$

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6. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）

A、600条 B、1200条 C、2200条 D、3000条

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7. 在平面直角坐标系中，点 $(a + 2 ， 2)$ 关于原点的对称点为 $(4 ， - b)$ ，则ab的值为（）

A、－4 B、4 C、12 D、－12

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2}$ （ $a > 0$ ）过 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 两点，则下列关系式一定正确的是（）

A、 $y_{1} > 0 > y_{2}$ B、 $y_{2} > 0 > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > 0$ D、 $y_{2} > y_{1} > 0$

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9.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为 $\sqrt{3} c m$ ，则弦CD的长为（）

A、 $\frac{3}{2} c m$ B、 $3 c m$ C、 $2 \sqrt{3} c m$ D、 $9 c m$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 与y轴交于点C．下列结论：① $a c > 0$ ；② $3 a + c = 0$ ；③ $a + b \leq a m^{2} + b m$ ；④当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 抛物线 $y = - {(x + 2)}^{2} + 6$ 与y轴的交点坐标．

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12. 在等腰三角形ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 6 c m$ ，若以AC的中点O为旋转中心将这个三角形旋转180°，点B落在 $B^{'}$ 处，则点 $B^{'}$ 与点B的距离为．

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13. 用配方法解一元二次方程 $3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 时，将它化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则 $a + b$ 的值为．

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14. 如图，在扇形AOB中， $∠ A O B = 120^{°}$ ，半径OC交弦AB于点D，且 $O C ⊥ O A$ ．若 $O A = 2 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为．

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15. 将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，则第10行从左向右的第3个数是．

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三、解答题（一）（每小题6分，共24分）

16. 解方程： $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ．

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17. 已知二次函数 $y = x^{2} + (n - 3) x + n + 1$ 的图象经过坐标原点O．求这个二次函数的最小值．

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18. 在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

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19. 如图，在平面角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 2)$ ，将 $△ A B C$ 绕原点O顺时针旋转90°后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、请写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 三点的坐标：
$A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ；

(2)、求点B旋转到点 $B_{1}$ 的弧长．

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四、解答题（二）（每小题7分，共21分）

20. 疫情期间，某公司向厂家订购 $A$ ， $B$ 两款洗手液共50箱，已知购买 $A$ 款洗手液1箱进价为200元，在此基础上，所购买的 $A$ 款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元.厂家为保障盈利，每次最多可订购30箱 $A$ 款洗手液. $B$ 款洗手液的进价为每箱100元.设该公司购买 $A$ 款洗手液 $x$ 箱.

(1)、根据信息填表：

型号

数量（箱）

进价（元/箱）

$A$

$x$

$B$

100

(2)、若订购这批洗手液的总进价为6240元，则该公司订购了多少箱 $A$ 款洗手液？

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 10 (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 2$ ，

(1)、求证： $4 a + b = 0$ ；

(2)、若关于x的方程 $a x^{2} + b x - 10 = 0$ ，有一个根为5，求方程的另一个根．

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22. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，过点A作 $⊙ O$ 的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作 $B D ∥ O P$ ，交 $⊙ O$ 于点D，连接PD．

(1)、求证：PD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当四边形POBD是平行四边形时，求 $∠ A P O$ 的度数．

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五、解答题（三）（每小题10分，共30分）

23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 $A (6 ， 1)$ 处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线 $C_{1}$ ： $y = a {(x - 3)}^{2} + 2$ 的一部分，淇淇恰在点 $B (0 ， c)$ 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 $C_{2}$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{n}{8} x + c + 1$ 一部分．

(1)、写出 $C_{1}$ 的最高点坐标，并求a，c的值；

(2)、若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．

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24. 如图，点O是等边 $△ A B C$ 内一点， $∠ A O B = 110 °$ ， $∠ B O C = α$ ．将 $△ B O C$ 绕点C按顺时针方向旋转60°得 $△ A D C$ ，连接OD．

(1)、求证： $△ C O D$ 是等边三角形；

(2)、当 $α = 150 °$ 时，试判断 $△ A O D$ 的形状，并说明理由；

(3)、探究：当 $α$ 为多少度时， $△ A O D$ 是等腰三角形？

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25. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)、设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $S_{△ P A B} = 6$ 的点P？如果存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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型号	数量（箱）	进价（元/箱）
$A$	$x$
$B$		100