黑龙江省哈尔滨市道里区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-01-16 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 一种细菌的半径是 $0.000012$ 厘米，用科学记数法表示为（）厘米．

A、 $12 \times 1 0^{- 6}$ B、 $0.12 \times 1 0^{- 4}$ C、 $1.2 \times 1 0^{- 5}$ D、 $1.2 \times 1 0^{- 4}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $2 a^{- 2} = \frac{1}{2 a^{2}}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{2} b^{4}$

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3. 下列所给的汽车标志中，不是轴对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列选项中的代数式，是分式的为（）.

A、 $\frac{x}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{x + 3}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{a}}$

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5. 点 $(2 ， 5)$ 关于x轴对称的点的坐标是（）．

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(- 2 ， - 5)$ C、 $(2 ， - 5)$ D、 $(5 ， 2)$

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6. 已知 $2^{m} = a$ ， $2^{n} = b$ ， m ， n为正整数，则 $2^{m + n}$ 为（）.

A、 $a + b$ B、 $a b$ C、 $2 a b$ D、 $a^{2} + b^{2}$

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7. 若 $4 x^{2} + k x + 1$ 是一个完全平方式，则常数 $k$ 的值为（）．

A、 $\pm 4$ B、4 C、 $\pm 2$ D、2

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8. 下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）.

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{147}$ C、 $\sqrt{25 a}$ D、 $\sqrt{a^{2} + 1}$

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9. 点A ， B的坐标分别为（1，3），(5，1），点P在x轴上，PA+PB的值最小时，点P的坐标为（）．

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(5 ， 0)$

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10. 如图， $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，点A在 $D E$ 上， $∠ B E A = ∠ B A C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ B E A$ 的平分线交 $A B$ 于M ，交 $B C$ 于P ，连接 $P D$ 交 $A C$ 于点N ，以下四个结论：① $E D = E B + C D$ ；② $B P = P C$ ；③四边形 $A M P N$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半；④ $A D \cdot A M = A N \cdot A E$ ．一定正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共30分）

11. 若 $\sqrt{2 x - 3}$ 有意义，则实数x的范围是．

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12. 分式 $\frac{1}{m + 3}$ 有意义，则字母m满足的条件是．

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13. 计算 $\sqrt{75} - \sqrt{12}$ 的结果是.

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14. 把多项式 $2 x^{2} - 2$ 分解因式的结果是．

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15. 上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北航行，当日10时到达海岛B处，从A望灯塔C在北偏西 $42 °$ 方向，从B望灯塔C在北偏西 $84 °$ 方向，则海岛B到灯塔C的距离为海里．

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16. 观察下列算式：① $1 \times 3 - 2^{2} = - 1$ ；② $2 \times 4 - 3^{2} = - 1$ ；③ $3 \times 5 - 4^{2} = - 1$ ；把这个规律用含字母 $n (n \geq 1)$ 的式子表示为．

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17. 如图，点D在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上， $A C = A B = B D$ ， $A D = C D$ ，则 $∠ B A C$ 为度．

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18. 1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角形”，根据图中各式的规律， $(a + b)^{6}$ 展开的多项式中各项系数之和为.

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19. 已知 $y = \sqrt{(x - 4)^{2}} - x + 5$ ，当 $x$ 分别取 $1$ ， $2$ ， $3$ ， ……， $2024$ 时，所对应 $y$ 值的总和是.

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20. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ， n的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“方差优数”，例如 $12 =$ $4^{2} - 2^{2}$ ， 12就是一个“方差优数”，可以利用 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是．

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三、解答题（60分）

21.

(1)、计算 $2^{- 1} + (- 2024)^{0} - \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$ ；

(2)、运用乘法公式计算 $104 \times 96$ ．

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22. 计算

(1)、 $4 x^{2} (x - \frac{1}{4})$ ；

(2)、 ${(y + 1)}^{2} - (y + 2) (y - 2)$ ；

(3)、 $\frac{8 a^{2} b^{4}}{c^{4} d^{2}} \div {(- \frac{2 a b^{3}}{c^{2} d})}^{2}$ ；

(4)、 $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1} \div (x - 1 - \frac{3}{x + 1})$ ；

(5)、 $(4 \sqrt{10} - 3 \sqrt{6}) \div \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

(6)、 $\sqrt{8} + (\sqrt{2} + 3) (\sqrt{2} - 5)$ .

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23. 点D为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，点E在 $△ A B C$ 外，连接 $A E$ ， $D E$ ， $A E = A D$ ， $C E = B D$ ．

(1)、如图1，若 $∠ D A E + ∠ D C E = 180 °$ ，请你判定 $△ A B C$ 的形状并证明；

(2)、如图2，若 $∠ A D E = ∠ A C B = 60 °$ ，请你判定 $△ A B C$ 的形状并证明．

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24. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{3 - k}{2 - x}$ 的解为正实数，求 $k$ 的取值范围.

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25. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了 $20$ 元预计今年的销量是去年的 $4$ 倍，今年销售额为 $360$ 万元已知去年的年销售额为 $60$ 万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？

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26. 如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ . $①$
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式 $①$ 和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
$S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ . $②$

(1)、在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 10$ ， $A C = 12$ ，利用上面公式 $①$ 求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求证： $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ .

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27. 如图，点C为 $A B$ 上一动点，以 $A C$ ， $B C$ 为斜边在 $A B$ 同侧作等腰直角三角形 $A C D$ 与等腰直角三角形 $C B E$ ，连接 $D E$ ，点F在 $D E$ 上，连接 $C F$ ， $F D = F C$ ．

(1)、求证：点F为 $D E$ 的中点；

(2)、过点F作 $A B$ 的垂线，点G为垂足，求 $\frac{F G}{A B}$ 的值；

(3)、若 $A B = 12$ ， $△ A C D$ 与 $△ C E B$ 的面积和为S ，求S的最小值．

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