黑龙江哈尔滨市香坊区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-16 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共计30分）

1. 若点 $A (1 ， 3)$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上一点，则常数 $k$ 的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 下列图形中，只是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = {(x - 3)}^{2} + 4$ B、 $y = {(x + 3)}^{2} + 4$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} - 4$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$

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4. 如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $s i n A = \frac{3}{4}$ ，则 $A C$ 的值是（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $\sqrt{7}$

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6. 在一个不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别，若从袋子里随机取出一球，则取出这个球是绿球的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7.
如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）

A、45° B、60° C、70° D、90°

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， A C ， B D$ 为对角线， $B D$ 经过圆心 $O$ ．若 $∠ B A C = 40 °$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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9. 如图，已知 $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ，则下列比例中错误的是（）

A、 $\frac{E F}{A B} = \frac{C E}{C A}$ B、 $\frac{C E}{C A} = \frac{C F}{C B}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{B F}{B C}$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $(4 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = 1$ ，结合图象给出下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $2 a + b = 0$ ；④ $4 a - 2 b + c = 0$ ，其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共计30分）

11. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， - 3)$ 关于原点对称的点 $B$ 的坐标为.

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12. 已知二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 4$ 的顶点坐标为.

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13. 若点 $A (- 1 ， a)$ ， $B (2 ， b)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，则 $a$ ， $b$ 的大小关系用“<”连接的结果为.

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14. 如图，设在小孔口 $O$ 前 $24 c m$ 处有一支长 $21 c m$ 的蜡烛 $A B$ ， $A B$ 经小孔 $O$ 形成的像 $A^{'} B^{'}$ ，恰好照在距小孔 $O$ 后面 $16 c m$ 处的屏幕上，则像 $A^{'} B^{'}$ 的长 $c m$ .

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15. 如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ， $P O$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，若 $∠ P = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为.

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16. 如图， $A C$ 是操场上直立的一个旗杆，旗杆 $A C$ 上有一点 $B$ ，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的 $D$ 点到 $B$ 点的仰角 $∠ B D C = 45 °$ ，到 $A$ 点的仰角 $∠ A D C = 60 °$ ，若 $B C = 3$ 米，则旗杆的高度 $A C =$ 米.

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17. 某学习小组由1名男生和3名女生组成，在一次合作学习中，若随机抽取2保同学汇报展示，则抽到1名男生和1名女生的概率为.

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18. 一个扇形的圆心角为 $120 °$ ，弧长为 $4 π c m$ ，则此扇形的面积是.

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19. 在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在直线 $B C$ 上， $B E = 2 C E$ ，若 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，则 $∠ D A E$ 的正切值为.

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20. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $E$ ，将 $△ A D E$ 绕 $A$ 点顺时针旋转到图2的位置，若 $5 B D = 4 C E$ ， $A B = 8$ ，则线段 $B C$ 的长为.

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三、解答题（共计60分）

21. 先化简，再求代数式 $\frac{x + 2}{x} \div (x - \frac{x^{2} + 4}{2 x})$ 的值，其中 $x = t a n 60 ° + 2 t a n 45 °$ .

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22. 如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $△ A B C$ 的各顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 3)$ ， $C (- 3 ， 2)$ .

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点中心对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C$ ；

(3)、连接 $B_{2} A_{1}$ 并直接写出线段 $B_{2} A_{1}$ 的长.

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23. 如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底 $A$ 处先步行300米到达 $B$ 处，再由 $B$ 处乘坐登山缆车到达观景平台 $D$ 处.已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一平面内， $∠ D F A = 90 °$ ， $B E ⊥ D F$ 于 $E$ ，山坡 $A B$ 的坡角为 $30 °$ ，缆车行驶路线 $B D$ 与水平面的夹角为 $53 °$ （换乘登山缆车的时间忽略不计）.

(1)、求登山缆车上升的高度 $D E$ ；

(2)、若小明步行速度为 $30 m / m i n$ ，登山缆车的速度为 $60 m / m i n$ ，求小明从山底 $A$ 处到达山顶 $D$ 处大约需要多少分钟（结果精确到 $0.1 m i n$ ）.（参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.80$ ， $c o s 53 ° \approx 0.60$ ， $t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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24. 如图， $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 都是 $⊙ O$ 的半径， $∠ A C B = 2 ∠ B A C$ .

(1)、求证： $∠ A O B = 2 ∠ B O C$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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25. 把边长为 $44 c m$ 的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计.
图1图2

(1)、要使折成的盒子的底面积为 $576 c m^{2}$ ，剪掉的正方形边长应是多少厘米？

(2)、折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.

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26. 菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $F$ 为 $B O$ 上一点，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $E F$ ，将线段 $F E$ 绕点 $F$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到对应线段 $F G$ ，连接 $D G$ .
图1 图2
图3 图4

(1)、当点 $A$ 与点 $E$ 重合时：
①如图1，点 $G$ 落在对角线 $B D$ 上，则线段 $G F$ 、 $G D$ 之间的数量关系为_▲_；
②如图2，点 $G$ 不落在对角线 $B D$ 上，则①问中结论是否成立，为什么？

(2)、当点 $A$ 与点 $E$ 不重合时：
①如图3，点 $G$ 不落在对角线 $B D$ 上，则（1）问中结论，_▲_；（填“成立”或“不成立”）
②如图4，在①的条件下，延长 $F G$ 交 $C D$ 于点 $M$ ，交 $O C$ 于点 $N$ ，若 $D F = 2 B F$ ， $O N = 1$ ， $C M ： D E = 5 ： 8$ ，求线段 $M N$ 的长.

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27. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B (3 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 经过点 $A$ ，并抛物线于点 $D$ .

(1)、如图1，求抛物线解析式；

(2)、如图2， $P$ 为抛物线第四象限上一点，连接 $P A$ 、 $P B$ ，设点 $P$ 的横坐标为， $△ P A B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)、如图3，在（2）的条件下，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A D$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，垂足为点 $H$ ， $G$ 为抛物线第二象限上一点，连接 $F G$ ， $∠ P A B + ∠ G F O = 135 °$ ，过点 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴交 $A D$ 于点 $E$ ，若 $H E ： D E = 4 ： 5$ ，求 $S$ 的值及 $G$ 点坐标.

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