黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-16 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，满分30分）

1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取（）

A、10 B、70 C、130 D、40

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3. 下列各式正确的是（）

A、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{a + b}{a - b}$ B、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{- a + b}{a + b}$ C、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{a - b}{a + b}$ D、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{a - b}{- a - b}$

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4. 甲、乙两人加工一批零件，甲完成100个与乙完成80个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成3个．设甲每天完成 $x$ 个零件，依题意下面所列方程正确的是（）

A、 $\frac{100}{x} = \frac{80}{x - 3}$ B、 $\frac{100}{x} = \frac{80}{x + 3}$ C、 $\frac{100}{x - 3} = \frac{80}{x}$ D、 $\frac{100}{x + 3} = \frac{80}{x}$

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5. 一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为 $3 ： 1$ ，则这个正多边形的边数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式 $m^{2} + 3 m n + 2 n^{2}$ 因式分解，其结果正确的是（）

A、 $(m + 2 n)^{2}$ B、 $(m + 2 n) (m + n)$ C、 $(2 m + n) (m + n)$ D、 $(m + 2 n) (m - n)$

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7. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $E$ 是 $A D$ 上一点， $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，若 $B E = A C ， A F = 1.5$ ，则 $E F$ 的长度为（）

A、2.5 B、2 C、1.5 D、1

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8. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{a x}{x - 2} = 1 - \frac{4}{2 - x}$ 无解，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、2或1 C、2或 $- 1$ D、 $- 2$

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9. 如图，已知，三角形 $D B E$ 全等于三角形 $A B C ， ∠ E B C = 40 °$ ，若 $A B ⊥ D E$ ，则 $∠ A$ 的度数（）

A、 $35 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C ， C D ⊥ B D$ 于点 $D ， A C = 5 ， B C - A B = 2$ ，则 $△ A D C$ 面积的最大值为（）

A、2 B、2.5 C、4 D、5

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二、填空题（每小题3分，满分21分）

11. 某个小微粒的直径为 $0.00000384 m m$ ，用科学记数法表示这个数为．

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12. 如果分式 $\frac{| x | - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的值为零，那么 $x =$ ．

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13. 若关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + 2 (m - 3) x + 9$ 是完全平方式， $m =$ ．

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14. 已知 $x - 2 y = - 5 ， x y = - 2$ ，则 $2 x^{2} y - 4 x y^{2} =$ ．

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15. 一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个等腰三角形的周长是．

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16. 如图，直线 $m ∥ n$ ，以直线 $m$ 上的点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 $m ， n$ 于点 $C$ ， $B$ ，连接 $A B ， B C$ ．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为．

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17. 在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点 $P$ 从原点 $O$ 出发，沿着“ $O \to A_{1} \to A_{2} \to A_{3} \to A_{4} ⋯$ ”的路线运动（每秒一条直角边），已知 $A_{1}$ 坐标为 $(1 ， 1) ， A_{2} (2 ， 0) ， A_{3} (3 ， 1) A_{4} (4 ， 0) \cdot ⋯$ ，设第 $n$ 秒运动到点 $P_{n}$ （ $n$ 为正整数），则点 $P_{2023}$ 的坐标是．

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三、解答题（本题共7道大题，满分69分）

18. 计算：

(1)、 $(2 x + 3 y)^{2} - 2 (2 x + 3 y) (2 x - y) + (2 x - y)^{2}$

(2)、 $(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{2}{1 - x}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 1}$

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19. 因式分解：

(1)、 $a y^{2} - 3 a y + 2 a$

(2)、 $3 (x + y) (x - y) - (y - x)^{2}$

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20. 解方程：

(1)、 $\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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21. 如图， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别是 $A (1 ， 1) ， B (4 ， 2) ， C (3 ， 4)$

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 的坐标；

(3)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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22. 超市分两次购进甲、乙两种商品若干件，进货总价如下表：

甲
乙
第一次
1500元
1200元
第二次
总共不超过1600元

(1)、第一次购进甲商品件数是乙商品件数的2倍，且甲商品的单价比乙商品的单价便宜15元/件，求甲商品的单价；

(2)、第二次共购进50件，两种商品的单价与第一次相比，甲提高了 $10 %$ ，乙降价了 $10 %$ ，问此次最多购进乙商品多少件．

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23. 综合与实践：
已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 12$ 厘米， $B C = 9$ 厘米，点 $D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、如果点 $P$ 在线段 $B C$ 上以3厘米/秒的速度由 $B$ 点向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上由 $C$ 点向 $A$ 点运动，运动的时间秒．
①若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等， $t = 1$ 时， $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 是否全等（填“是”或“否”）；
②若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度不相等，当 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等时，请直接写出点 $Q$ 的运动速度为 ▲ ．

(2)、若点 $Q$ 以（1）①中的运动速度从点 $C$ 出发，点 $P$ 以原来的运动速度从点 $B$ 同时出发，都逆时针沿 $△ A B C$ 三边运动，则经过多长时间，点 $P$ 与点 $Q$ 第一次在 $△ A B C$ 的哪条边上相遇？此时相遇点距离B点的路程是多少？

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24. 综合与实践，如图，已知 $∠ C O D = 90 °$ ，直线 $A B$ 与 $O C$ 交于点 $B$ ，与 $O D$ 交于点 $A$ ，射线 $O E$ 和射线 $A F$ 交于点 $G$ ．

(1)、若 $O E$ 平分 $∠ B O A ， A F$ 平分 $∠ B A D ， ∠ O B A = 36 °$ ，则 $∠ O G A =$ ；

(2)、若 $∠ G O A = \frac{1}{3} ∠ B O A ， ∠ G A D = \frac{1}{3} ∠ B A D ， ∠ O B A = 36 °$ ，则 $∠ O G A =$ ；

(3)、将（2）中“ $∠ O B A = 36 °$ ”改为“ $∠ O B A = β$ ”，其余条件不变，求 $∠ O G A$ 的度数（用含 $β$ 的代数式表示）；

(4)、若 $O E$ 将 $∠ B O A$ 分成 $1 ： 2$ 两部分， $A F$ 也将 $∠ B A D$ 分成 $1 ： 2$ 两部分， $∠ A B O = β (30 ° < β < 90 °)$ ，则 $∠ O G A$ 的度数 $=$ （用含 $β$ 的代数式表示）．

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	甲	乙
第一次	1500元	1200元
第二次	总共不超过1600元