2024年浙教版数学八年级下册第一章二次根式单元测试卷

试卷更新日期：2024-01-16 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 下列式子是二次根式的是（）

A、 $a^{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt[3]{18}$ D、 $\sqrt{- 10}$

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2. 式子 $\sqrt{\frac{3 - x}{x - 1}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x - 1}}$ 成立的条件是（）

A、 $x$ ≥3 B、 $x$ ≤1 C、1≤ $x$ ≤3 D、1＜ $x$ ≤3

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3. 已知 $- 1 < a < 0$ ，化简 $\sqrt{{(a + \frac{1}{a})}^{2} - 4} + \sqrt{{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 4}$ 得（）

A、 $- 2 a$ B、 $- \frac{2}{a}$ C、 $2 a$ D、 $\frac{2}{a}$

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4. 下列结论中正确的个数有（）
（1） $\sqrt{m n (a_{}^{2} + b_{}^{2})}$ 不是最简二次根式；（2） $\sqrt{27 a}$ 与 $\sqrt{\frac{1}{3 a}}$ 是同类二次根式；（3） $\sqrt{1 3_{}^{2} - 1 2_{}^{2}} = 1$ ；（4）方程 $x_{}^{2} = 0$ 无实数解；

A、0个； B、1个； C、2个； D、3个.

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5. 若0＜ $x$ ＜1，那么 $x + 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 的化简结果是（）

A、 $2 x$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $2 x + 2$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $- {(a^{3} b)}^{2} = a^{6} b^{2}$ B、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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7. 下列说法正确的个数是（　　）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
② $\sqrt{2}$ 的倒数是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
③ $\sqrt{0.4}$ 是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于 $\sqrt{7}$ 的整数共有5个．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{25} = \pm 5$ B、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ C、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 9$ D、 $\sqrt{24} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 6$

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9. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $(7 + 4 \sqrt{3}) x^{2} + (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3}$ 的值是（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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10. 若一正方体的表面积为 $18 d m^{2}$ ，则此正方体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3} d m$ B、 $3 d m$ C、 $\sqrt{18} d m$ D、 $\sqrt[3]{18} d m$

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二、填空题

11. 化简 $\sqrt{1 - 2 x + x^{2}} - (\sqrt{x - 2})^{2}$ 的结果是．

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12. 比较大小： $\sqrt{22}$ 4．（选填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“=”）

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13. 使代数式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义的x取值范围是．

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14. 如果 $a = \sqrt{5} - 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + a^{2} - 2} =$ ．

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15. 计算： $\sqrt{\frac{3}{2}}$ ÷ $\sqrt{\frac{1}{18}}$ ＝．

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16. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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三、综合题

17. 已知实数x，y满足y $= \sqrt{x - 13} + \sqrt{13 - x} +$ 5，求：

(1)、x与y的值；

(2)、x²-y²的平方根.

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18. 填空：

(1)、已知 $\sqrt{n - 100}$ 是正整数，则实数n的最小值为；

(2)、已知 $\sqrt{16 - n}$ 是正整数，则实数n的最大值为．

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19. 请阅读下列材料：
问题：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值.小敏的做法是：根据 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $(x - 2)^{2} = 5$ ， $∴ x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ，得： $x^{2} - 4 x = 1$ .把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体代入：得 $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$ .即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{5} - 2$ ，求代数式 $x^{2} + 4 x - 10$ 的值；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，求代数式 $x^{3} + x^{2} + 1$ 的值.

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20.

(1)、计算： $\sqrt{5} + \sqrt{20} - \sqrt{45}$ ．

(2)、下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： $2 \sqrt{3} \div \frac{4}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} - \sqrt{27}$ ．
解：原式 $= 2 \sqrt{3} \div 4 - 3 \sqrt{3}$ 第一步
      $= \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sqrt{3}$ 第二步
      $= - \frac{5}{2} \sqrt{3}$ 第三步
任务一：以上步骤中，从第    ▲        步开始出现错误，这一步错误的原因是    ▲         ．
任务二：请写出正确的计算过程．

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21. 阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如： $\frac{3}{\sqrt{5}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ， ……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如： $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ；（一）

      $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2 \times 3}}{\sqrt{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ；（二）

      $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1} = \sqrt{3} - 1$ ；（三）

以上这种化简的叫做分母有理化．

      $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

      $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ．（四）

请解答下列问题：

(1)、化简： $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ ．

(2)、化简： $\frac{3}{\sqrt{4} + \sqrt{1}} + \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} + \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$ ．

(3)、猜想： $\frac{3}{\sqrt{4} + \sqrt{1}} + \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} + \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{3}{\sqrt{3 n + 1} + \sqrt{3 n - 2}}$ 的值．（可直接写出结果）

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22. 我们知道， $\sqrt{a}$ ≥0(a≥0)，所以当a≥0时， $\sqrt{a}$ 的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 和 $\sqrt{- x^{2} + 3}$ 进行了以下的探索：
∵x²≥0，∴x²+1≥1，∴ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ≥ $\sqrt{1}$ =1，
∴当x=0时， $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的最小值为1．
∵x²≥0，∴-x²≤0，∴-x²+3≤3，∴ $\sqrt{- x^{2} + 3}$ ≤v3，
∴当x=0时， $\sqrt{- x^{2} + 3}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\sqrt{(x + 2)^{2} + 7}$ 的最小值和 $\sqrt{- 3 (x - 5)^{2} + 9}$ 的最大值；

(2)、求 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ 的最小值；

(3)、我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= $\frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为多少？

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23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．

(1)、求直线l的函数解析式；

(2)、若点 $(\frac{1}{t} ， t)$ 在直线l上，求代数式 $t^{4} + \frac{1}{t^{4}}$ 的值．

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24. 阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2 $\sqrt{2}$ ＝（1＋ $\sqrt{2}$ ）² ，善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b $\sqrt{2}$ ＝（m＋n $\sqrt{2}$ ）² ，则有a＋b $\sqrt{2}$ ＝m²＋2n²＋2mn $\sqrt{2}$ ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为整数时，若 $a + b \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　　， b＝　　；

(2)、若a＋6 $\sqrt{7}$ ＝（m＋n $\sqrt{7}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)、直接写出式子 $\sqrt{49 + 20 \sqrt{6}}$ 化简的结果．

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