2013年春季高考理数真题试卷（上海卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、填空题

1. 函数y=log₂（x+2）的定义域是．

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2. 方程2^x=8的解是．

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3. 抛物线y²=8x的准线方程是．

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4. 函数y=2sinx的最小正周期是．

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， k)$ ， $\vec{b} = (9 ， k - 6)$ ．若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数k= ．

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6. 函数y=4sinx+3cosx的最大值是．

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7. 复数2+3i（i是虚数单位）的模是．

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8. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b= ．

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9. 正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁B与B₁C所成角的大小为．

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10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．

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11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S_n= ．

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12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2²×3² ，所以36的所有正约数之和为（1+3+3²）+（2+2×3+2×3²）+（2²+2²×3+2²×3²）=（1+2+2²）（1+3+3²）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．

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二、选择题本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．

13. 展开式为ad﹣bc的行列式是（）

A、 $| \begin{matrix} a & b \\ d & c \end{matrix} |$ B、 $| \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} |$ C、 $| \begin{matrix} a & d \\ b & c \end{matrix} |$ D、 $|\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix}|$

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14. 设f^﹣¹（x）为函数f（x）= $\sqrt{x}$ 的反函数，下列结论正确的是（）

A、f^﹣¹（2）=2 B、f^﹣¹（2）=4 C、f^﹣¹（4）=2 D、f^﹣¹（4）=4

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15. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）

A、（2，﹣3） B、（2，3） C、（﹣3，2） D、（3，2）

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16. 函数f（x）= $x^{- \frac{1}{2}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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17. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、ab＜b² C、﹣ab＜﹣a² D、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$

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18. 若复数z₁ ， z₂满足z₁= $\bar{z_{2}}$ ，则z₁ ， z₂在复数平面上对应的点Z₁ ， Z₂（）

A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线y=x对称

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19. （1+x）¹⁰的二项展开式中的一项是（）

A、45x B、90x² C、120x³ D、252x⁴

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20. 既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）

A、y=sinx B、y=cosx C、y=sin2x D、y=cos2x

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21. 若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）

A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：16

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22. 设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）

A、Z∪∁_UN B、N∩∁_UN C、∁_U（∁_u∅） D、∁_U{0}

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23. 已知a，b，c∈R，“b²﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax²+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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24. 已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若 ${\vec{M N}}^{2}$ =λ $\vec{A N}$ • $\vec{N B}$ ，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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三、解答题，本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

25. 如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁=6，异面直线BC₁与AA₁所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ，求该三棱柱的体积．

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26. 如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

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27. 已知数列{a_n}的前n项和为 $S_{n} = - n^{2} + n$ ，数列{b_n}满足 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求 $\lim_{n \to \infty} (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n})$ ．

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28. 已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（﹣1，0）、F₂（1，0），短轴的两个端点分别为B₁ ， B₂

(1)、若△F₁B₁B₂为等边三角形，求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C的短轴长为2，过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 $\vec{F_{1} P} ⊥ \vec{F_{1} Q}$ ，求直线l的方程．

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29. 已知抛物线C：y²=4x 的焦点为F．

(1)、点A，P满足 $\vec{A P} = - 2 \vec{F A}$ ．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；

(2)、在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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30. 在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P_n在x轴上，其横坐标为x_n ，且{x_n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P_nAP_n+1=θ_n ， n∈N^* ．

(1)、若 $θ_{3} = \arctan \frac{1}{3}$ ，求点A的坐标；

(2)、若点A的坐标为（0，8 $\sqrt{2}$ ），求θ_n的最大值及相应n的值．

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31. 已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．

(1)、将函数g（x）=x³﹣3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

(2)、求函数h（x）= $\log_{2} \frac{2 x}{4 - x}$ 图象对称中心的坐标；

(3)、已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

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