天津市和平区重点中学2023-2024学年高三上学期数学第三次月考试题

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | | 2 x - 3 ∣ \leq 1} ， B = {x ∣ - 2 < x < 5 ， x \in N}$ ，则 $A \cap B$ 元素的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知a，b是两条不同直线，若 $a / /$ 平面 $β$ ，则“ $a / / b$ ”是“ $b / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $a = \log_{3} 8$ ， $b = 2^{1.2}$ ， $c = {0.3}^{3.1}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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4. 函数 $f (x) = \frac{3 l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)}{1 + | x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）

A、 $a$ 的值为0.005 B、估计这组数据的众数为75 C、估计这组数据的第85百分位数为86 D、估计成绩低于60分的有25人

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6. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，3a₁ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， 3a₂成等差数列，则 $\frac{a_{9} + a_{10}}{a_{1} + a_{8}} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、9 D、 $\frac{1}{9}$

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7. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} . M ， P$ 是椭圆 $E$ 上的点， $M F_{1}$ 的中点为 $N ， | O N | + | N F_{1} | = 2$ ，过 $P$ 作圆 $Q ： x^{2} + (y -$ $4)^{2} = 1$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则|PB|的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{219}}{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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8. 下列物体不能被半径为2(单位： $m$ )的球体完全容纳的有（）

A、所有棱长均为 $2 \sqrt{2} m$ 的四面体 B、底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱 C、上、下底面的边长分别为1m，2m，高为3m的正四棱台 D、底面棱长为1m，高为3.8m的正六棱雉

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9. 已知函数 $f (x) = c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[k π - \frac{2 π}{3} ， k π - \frac{π}{6}] (k \in Z)$ C、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = 2 s i n ω x$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度得到 D、函数 $g (x) = f (t ω x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有2个零点，则实数 $t$ 的取值范围为 $(\frac{7}{6} ， \frac{13}{6}]$

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二、填空题

10. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i^{3}}$ 的虚部为.

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11. 二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为.(用数字作答)

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12. 已知圆心在直线 $x - 3 y = 0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的负半轴相切，且圆 $C$ 截 $x$ 轴所得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ ，则圆 $C$ 的方程为.

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13. 已知 $a > 1 ， b > 1$ ，且 $a b = e^{2}$ ，则 $a^{l n b}$ 的最大值为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 3 ， \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，点 $D$ 是BC的中点，点 $E$ 在边AC上， $3 \vec{A E} = \vec{A C} ， B E$ 交AD于点 $F$ ，设 $\vec{B F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ；点 $G$ 是线段BC上的一个动点，则 $\vec{B F} \cdot \vec{F G}$ 的最大值为.

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15. 已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 6 m - 8 ， x \geq 1 \\ - x^{2} + m x + m^{2} ， x < 1 \end{array}$ ，若对于任意实数 $a$ ，方程 $f (x) = a$ 有且只有一个实数根，且 $f (2) < 8$ ，函数 $y = | f (x) |$ 的图象与函数 $y = m x + t$ 的图象有三个不同的交点，则实数 $t$ 的取值范围为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c ， 2 b c o s C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a < c ， b = 2 \sqrt{7} ， △ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ .
①求a，c的值；
②求sin(2C+B)的值.

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2 ， ∠ B A C = 9 0^{°} ， E ， F$ 分别为 $C C_{1} ， B C$ 的中点.

(1)、求异面直线 $A_{1} B$ 与EF所成角的余弦值；

(2)、求点B₁到平面AEF的距离；

(3)、求平面AEF与平面 $A_{1} E B$ 夹角的余弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 (- 1)^{n} (n \in N^{*})$ ，记 $b_{n} = a_{2 n} - 1$ .

(1)、求 $b_{1} ， b_{2}$ 的值；

(2)、证明 $b_{n + 1} = 4 b_{n}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若不等式 $\sum_{i = 1}^{2 n} i a_{i} > λ$ 对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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19. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与椭圆 $C_{2}$ 有相同的离心率，椭圆 $C_{2}$ 焦点在 $y$ 轴上且经过点 $(1 ， \sqrt{2})$ .

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $C_{1}$ 的上顶点，经过原点的直线 $l$ 交椭圆于 $C_{2} ∓ P ， Q$ ，直线AP、AQ与椭圆 $C_{1}$ 的另一个交点分别为点 $M$ 和 $N$ ，若 $△ A M N$ 与 $△ A P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x} + x^{2} - x l n a (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 单调增区间；

(3)、若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \geq e - 1$ ( $e$ 是自然对数的底数)，求实数 $a$ 的取值范围.

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