天津市五所重点高中2023-2024届高三数学联考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：高考模拟

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一、单选题（本大题共9小题,共45.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 \leq 0 ， x \in Z} B = {y ∣ y = \frac{2}{x} ， x \in Z ， y \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 2}$

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2. 设命题 $p$ ： $\forall x < - 1$ ， $x^{2} + x > 0$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x < - 1$ ， $x^{2} + x \leq 0$ B、 $\exists x \geq - 1$ ， $x^{2} + x \leq 0$ C、 $\forall x < - 1$ ， $x^{2} + x \leq 0$ D、 $\forall x \geq - 1$ ， $x^{2} + x \leq 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{x}{| x |} \cdot 3^{x}$ 的图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 直线 $l_{1} ： (3 + m) x + 4 y = 5 - 3 m ， l_{2} ： 2 x + (5 + m) y = 8$ ，则“ $m = - 1$ 或 $m = - 7$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设a=2.1^0.3 ， b=log₄3，c=log₂1.8，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 12 ， 21 S_{8} = 10 S_{12}$ ，则 $T_{12} =$ （）

A、51 B、52 C、84 D、104

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7. 木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，且 $V A D E ， △ B C F$ 均为正三角形， $E F / / C D ， E F = 2$ ，则该木楔子的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ) (x \in R ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 3 s i n (\frac{1}{3} x - \frac{π}{12})$ B、 $f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、不等式 $f (x) \geq \frac{3}{2}$ 的解集为 $[6 k π + \frac{π}{4} ， 6 k π + \frac{9 π}{4}] k \in Z$ D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得函数的图象在 $[6 π ， 8 π]$ 上单调递增

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x + 2} - 1 | ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} + m f (x) + 2 = 0$ 恰有6个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{11}{3}) \cup [- 3 ， - 2 \sqrt{2})$ B、 $(- \frac{11}{3} ， - 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， - \frac{11}{3}) \cup (- \frac{11}{3} ， - 2 \sqrt{2})$ D、 $[- 3 ， - 2 \sqrt{2})$

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二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)

10. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为

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11. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 4 x + 1 = 0$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦的弦长 .

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12. 曲线 $y = \frac{2}{x} - l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $c o s (2 α - \frac{π}{2}) =$ .

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13. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x) ， f (x - 2) = f (x + 2)$ ，且 $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{5}$ ，则 $f (l o g_{2} 20) =$ .

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14. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $b + 8 a - 2 a b = 0$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为；此时 $a =$ .

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15. 如图，在四边形ABCD中， $∠ B = 6 0^{°} ， A B = 2 ， B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = λ \vec{B C} ， \vec{A D} \cdot \vec{A B} = - 2$ 则实数 $λ$ 的值为，若M，N是线段BC上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为.

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三、解答题（本大题共5小题,共60.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = 3 \sqrt{2}$ ， $b = 6$ ， $C = \frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求c；

(2)、求 $c o s (A - \frac{π}{4})$ 的值；

(3)、求 $c o s (A - B - C)$ 的值．

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17. 如图，在四棱雉 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 $A D / / B C ， A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2 ， P A = 4 ， E$ 为棱BC上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ .

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面PAC

(2)、求平面APC与平面PCD所成的余弦值；

(3)、设Q为棱CP上的点（不与C，p重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{C Q}{C P}$ 的值.

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18. 已知圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 3)$ 和 $B (5 ， 1)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 经过点 $(0 ， 3)$ ，且 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

(3)、 $P$ 为圆上任意一点，在(1)的条件下，求 $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2}$ 的最小值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比 $q > 1$ 的等比数列，前三项和为13，且 $a_{1} ， a_{2} + 2 ， a_{3}$ 恰好分别是等差数列 ${b_{n}}$ 的第一项，第三项，第五项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 的通项公式 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数， \\ b_{n} ， n 为偶数， \end{array} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n + 1$ 项和 $S_{2 n + 1}$ ；

(3)、求 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{(2 b_{i} - 4) a_{i + 1} - 1}{b_{a_{i + 1} + 1} \cdot b_{a_{i + 2} + 1}} (n \in N^{*})$ .

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若不等式 $f (x) > 0$ 恰有两个整数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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