天津市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月过程性诊断（2）试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、单选题（每小题5分，共45分）

1. 向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、9 B、3 C、1 D、 $3 \sqrt{2}$

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2. 已知直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则线段 $M N$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一点 $A$ 的纵坐标为2，则点 $A$ 到抛物线焦点的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知直线 $l_{1}$ ： $k x + y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $k x + (k - 4) y + 1 = 0$ 平行，则 $k$ 的值是（）

A、5 B、0或5 C、0 D、0或1

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a_{4} + a_{5} + a_{8}}{a_{1} + a_{2} + a_{5}} = 8$ ，那么 $S_{5}$ =（）

A、31 B、32 C、63 D、64

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6. 在四面体 $O - A B C$ 中， $\vec{O P} = 2 \vec{P A}$ ， Q是 $B C$ 的中点，且M为PQ的中点，若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O M} =$ （）．

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 10$ ， $S_{10} = 30$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、40 B、70 C、90 D、100

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8. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ），则 $a_{2023} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、2

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9. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为e ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若 $△ F_{1} A B$ 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则 $e^{2} =$ （）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $1 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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二、填空题（每小5分，共30分）

10. 已知 $a \in R$ ，若直线 $l_{1}$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + (a - 1) y + 2 = 0$ 相互垂直，则 $a =$ .

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11. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 5 = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 1 = 0$ 相交于A ， B两点，则直线 $A B$ 的方程是．

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 0$ ， $S_{8} = S_{22}$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时， $n =$ ．

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13. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x ， y)$ 为该抛物线上的动点，又已知定点 $A (2 ， 2)$ ，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值是.

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14. 已知直线 $y = - x + 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于 $A ， B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点在直线 $l ： x - 4 y = 0$ 上，则此椭圆的离心率为．

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15. 若直线 $y = 2 x + b$ 与曲线 $y = 3 - \sqrt{4 x - x^{2}}$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知圆 $C$ 经过 $A (3 ， 0)$ 和 $B (2 ， 1)$ 两点，且圆心在直线 $2 x + y - 4 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、从点 $(3 ， 2)$ 向圆C作切线，求切线方程．

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17. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $2 a_{4} ， a_{6} ， 3 a_{5}$ 成等差数列.

(1)、求等比数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 和前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 11 - 2 l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $B_{n}$ 的最大值.

(3)、求数列 ${｜ b_{n} ｜}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $P D = A D = 2$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ 上，且 $A E = \frac{3}{4} A B$ .

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $B C E$ 与平面 $P C E$ 的夹角的余弦值.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${3^{n - 1} a_{n}}$ 前n项和 $B_{n}$

(3)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{S_{2 n - 1} \cdot S_{2 n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的取值范围；

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $F (2 ， 0)$ ．

(1)、求椭圆方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线与直线 $x = 3$ 交于点 $C$ ， $△ A B C$ 为等边三角形，求直线 $l$ 的方程

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