天津市重点中学校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题）

1. 已知三角形 $A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1 ， 0) ， B (2 ， - 3) ， C (3 ， 3)$ ，则 $A B$ 边上的中线所在直线的方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y - 6 = 0$ C、 $3 x - y - 6 = 0$ D、 $3 x + y - 12 = 0$

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2. 已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20 ， a_{7} = 12$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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3. 离心率 $\frac{2}{3}$ ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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4. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 的公共弦的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2023} = ()$

A、-3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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6. 已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线 $O B$ 、 $A C$ ， $M$ 、 $N$ 分别是边 $O A$ 、 $C B$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且使 $M G = 2 G N$ ，用向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ ，表示向量 $\vec{O G}$ 是 $($ $)$

A、 $\vec{O G} = \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ B、 $\vec{O G} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ C、 $\vec{O G} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O G} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{2}{3} \vec{O C}$

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7. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为2，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1010} < 0 ， a_{1010} + a_{1011} > 0$ ，则满足 $S_{n} > 0$ 的最小正整数 $n$ 的值为（）

A、1010 B、1011 C、2020 D、2021

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合，过 $F$ 作与一条渐近线平行的直线 $l$ ，交另一条渐近线于点 $A$ ，交抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线于点 $B$ ，若三角形 $A O B$ ( $O$ 为原点)的面积 $3 \sqrt{3}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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二、填空题(共6小题)

10. 两条平行直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 与 $a x + 4 y + 13 = 0$ 的距离是.

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的点 $P$ 到该抛物线焦点的距离为5，则点 $P$ 的纵坐标为.

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12. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 8 ， S_{6} = 20$ ，则 $S_{9} =$ .

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13. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9}$ =1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是

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14. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $A D = 1 ， D D_{1} = 3$ ，点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} P = 2 P C$ ，则直线 $A_{1} P$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值是

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15. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ .过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ .已知 $|P F_{2}| = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为.

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三、解答题(共6小题)

16. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} = 35 ， a_{2} a_{4} = 45$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = |a_{n}|$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 已知抛物线 $C$ 的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点 $A (4 ， 2) ， F$ 为抛物线的焦点.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $B (4 ， 1) ， P$ 为抛物线上一动点，求 $|P F| + |P B|$ 的最小值.

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18. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{4} {(a_{n} + 1)}^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{1} ， a_{2}$ ；

(2)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列.

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19. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ A C ， A B = A C = A A_{1} = 2 ， A_{1} C_{1} = 1$ ， $M ， N$ 分别为 $B C ， A B$ 中点.

(1)、求证： $A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；

(2)、求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值：

(3)、求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离.

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20. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} ， \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ .点 $P (a ， b)$ 满足 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ .

(1)、求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)、设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A ， B$ 两点，若直线 $P F_{2}$ 与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16$ 相交于 $M ， N$ 两点，且 $|M N| = \frac{5}{8} |A B|$ ，求椭圆的方程.

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