天津市第七中学2024届高三上学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设全集 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 3 ， - 2 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

查看试题解析
2. 已知 $a ， b \in$ R，则“ $a^{2} + b^{2} = 0$ ”是“ $a b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 设 $a = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = e^{\frac{1}{2}}$ ， $c = l g 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

查看试题解析
4. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[—π，π]的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(\sqrt{3} ， 2)$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $x^{2} = 4 \sqrt{7} y$ 的准线上，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{21} - \frac{x^{2}}{28} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{28} - \frac{y^{2}}{21} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

查看试题解析
6. 一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（）

A、 $2 ： 3$ B、 $3 ： 2$ C、 $1 ： 2$ D、 $3 ： 4$

查看试题解析
7. 下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (0 < X < 1) = 0.2$ B、数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C、将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D、设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则 $| r |$ 越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强

查看试题解析
8. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + n + 1$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} (n \in N *)$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前50项和为（）

A、49 B、50 C、99 D、100

查看试题解析
9. 将函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象，再将 $g (x)$ 图象上的所有点的横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $h (x)$ 的图象，则下列说法正确的个数是（）
①函数 $h (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是函数 $h (x)$ 图象的一个对称中心；
③函数 $h (x)$ 图象的一个对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{6}$ ；
④函数 $h (x)$ 的区间 $[- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 上单调递增

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题

10. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ .

查看试题解析
11. 已知圆C的圆心与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2=0与圆C相交于A，B两点，且 $| A B | = 6$ ，则圆C的标准方程为：.

查看试题解析
12. 已知 $3^{x} = 4^{y} = 6$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

查看试题解析
13. 已知正实数a ， b满足 $2 a + b = 3$ ，则 $\frac{2 a^{2} + 1}{a} + \frac{b^{2} - 2}{b + 2}$ 的最小值是．

查看试题解析
14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E、F分别为 $B C$ 、 $C D$ 上的点． $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，点M在线段 $E F$ 上，且满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A D} (x \in R)$ ， $| \vec{A M} | =$ ；若点N为线段 $B D$ 上一动点，则 $\vec{A N} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} | \ln x | ， 0 < x \leq e \\ f (2 e - x) ， e < x < 2 e \end{cases}$ ，函数 $F (x) = f (x) - a x$ 有4个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

16. 在钝角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对各边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 7$ ， $b = 3$ ， $c o s C = \frac{11}{14}$ ．

(1)、求边长 $c$ 和角 $A$ 的大小；

(2)、求 $s i n (2 C - \frac{π}{6})$ 的值．

查看试题解析
17. 如图，矩形 $A B C D$ 和梯形 $A B E F$ ， $A F ⊥ A B$ ， $E F ∥ A B$ ，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = A F = 2$ ， $A D = E F = 1$ ，过 $D C$ 的平面交平面 $A B E F$ 于 $M N$ .

(1)、求证： $D C ∥ M N$ ；

(2)、当 $M$ 为 $B E$ 中点时，求点 $E$ 到平面 $D C M N$ 的距离；

(3)、若平面 $A B C D$ 与平面 $D C M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{E M}{E B}$ 的值.

查看试题解析
18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为2，若点A ， B分别是椭圆E的左右顶点，动点 $M (a ， t)$ ， $(t \geq \sqrt{2})$ ，直线 $A M$ 交椭圆E于P点.

(1)、求椭圆E的方程

(2)、
①求证： $\vec{O M} \cdot \vec{B P}$ 是定值；
②设 $△ A B P$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $O B M P$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.

查看试题解析
19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{2} - a_{2} = 1$ ， $a_{5} - b_{3} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}}$ .

(3)、求证： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k} \cdot a_{k + 1}} = \frac{n (n + 1)}{2 a_{n + 1}}$ .

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a l n x (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = x + b$ 有唯一实数解，试求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，试求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析