重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $θ$ 是第三象限角，且 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 下列命题中真命题有（）
① $p ： \forall x \in R ， x^{2} - x + \frac{1}{4} \geq 0$ ②q：所有的正方形都是矩形
③ $r ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ④ $s ： \exists x ， y \in Z ， 2 x + 4 y = 3$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 若 $c o s (\frac{2 π}{5} + α) = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{10}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 若命题 $p$ ： $(x + y) (x - y) = 0$ ， $q$ ： $x = y$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设 $x ， y \in R$ ，则 ${(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{y}$ 是 $\log_{2} x < \log_{2} y$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知 $m > 2$ ， $n > 0$ ， $m + n = 3$ ，则 $\frac{1}{m - 2} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知函数 $g (x) = {\begin{array}{l} | l g | x - 2 | | ， x \neq 2 \\ 0 ， x = 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $g^{2} (x) - a g (x) + b = 0$ 有7个不同实数解则（）

A、 $a > 0$ 且 $b = 0$ B、 $a > 0$ 且 $b > 0$ C、 $a = 0$ 且 $b > 0$ D、 $a < 0$ 且 $b = 0$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | - 1 ， x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = x \cdot f (x) - a$ 的零点个数恰为2个，则（）

A、 $\frac{7}{8} < a < \frac{3}{2}$ 或 $a = - 1$ B、 $\frac{7}{8} < a < \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3} < a < \frac{8}{7}$ 或 $a = - 1$ D、 $\frac{2}{3} < a < \frac{8}{7}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9. 下列关系中，正确的有（）

A、 $- 3 \in Z$ B、 $π \notin Q$ C、 $a \subseteq {a}$ D、 $\emptyset = {x \in R | x^{2} + 1 = 0}$

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10. 下列函数在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = | x |$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2} - 1$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + ∞)$ ，且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ， $f (2) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 C、 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{1}{2022}) + ⋯ + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2022) + f (2023) = 2023$ D、不等式 $f (\frac{1}{x}) - f (x - 3) \geq 2$ 解集为 $[4 ， + \infty)$

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12. 若关于 $x$ 的不等式 $0 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 (a > 0)$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $3 a + b + 2 c$ 的值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、1

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的单调递减区间为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \leq 1 \\ 2^{x} - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，则不等式 $f (2 x) < f (2 - x^{2})$ 的解集是.

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15. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $\frac{x - 3}{x - 2} < 0$ ”的条件．（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 4 ， x < a \\ {(x - 2)}^{2} ， x \geq a \end{array}$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合A＝{x∈R|ax²－3x＋1＝0，a∈R}．

(1)、若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；

(2)、若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；

(3)、若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + 2 (x \in [1 ， 2])$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{a}{x} + \frac{a}{2}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数．求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{x}$ （ $a > 1$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值为 $\frac{7}{2}$ ，求a的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有且只有一个零点 $x_{0}$ ，且 $l o g_{a} (2 - x_{0}) + x_{0}^{2} - 2 x_{0} a^{x_{0}} < 0$ ．

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21. 汕头市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.

(1)、求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

(2)、降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

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22.

(1)、已知 $x ⩽ 1$ ，比较 $3 x^{3}$ 与 $3 x^{2} - x + 1$ 的大小.

(2)、已知 $a > b > 0 ， c < d < 0 ， k < 0$ ，求证： $\frac{k}{a - c} > \frac{k}{b - d}$ .

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