上海市静安区市北中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {a ， 3}$ ，若 $A \cap B = {2}$ ，则 $a =$ ．

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2. 已知 $x ∈ R$ ， $y ∈ R$ ，且 $x + i = y + y i$ ， $i$ 是虚数单位，则 $x + y =$ ．

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3. 已知两个正数 $a$ ， $b$ 的几何平均值为1，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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4. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为．

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5. 设圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为．

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6. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则C=.

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7. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，则不等式 $(a x + b) (b x + c) (c x + a) < 0$ 的解集是.

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8. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) = 4$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量等于.

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = a n^{2} + n$ ，若满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}$ 且对任意 $n \in [9 ， + \infty)$ ，都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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10. 若 $1 0^{x} - 1 0^{y} = 10$ ，其中 $x ， y \in R$ ，则 $2 x - y$ 的最小值为.

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11. 已知非零平面向量 $\overset{\leftrightarrow}{a} ， \overset{\leftrightarrow}{b}$ 不平行，且满足 $\overset{\leftrightarrow}{a} \cdot \overset{\leftrightarrow}{b} = {\overset{\leftrightarrow}{a}}_{}^{2} = 4$ ，记 $\overset{\leftrightarrow}{c} = \frac{3}{4} \overset{\leftrightarrow}{a} + \frac{1}{4} \overset{\leftrightarrow}{b}$ ，则当 $\overset{\leftrightarrow}{b}$ 与 $\overset{\leftrightarrow}{c}$ 的夹角最大时， $| \overset{\leftrightarrow}{a} - \overset{\leftrightarrow}{b} |$ 的值为．

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12. 已知 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{25}{4} l n (x + 1) + \frac{12}{π} c o s \frac{π}{3} x + a$ ，则 $y = f (x)$ 的驻点为．

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. “ $a = 2$ ”是“直线 $y = - a x + 2$ 与直线 $y = \frac{a}{4} x - 1$ 垂直”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件．

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14. 下列函数中，以 $π$ 为周期且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上是严格增函数的是（）

A、 $f (x) = | c o s 2 x |$ B、 $f (x) = | s i n 2 x |$ C、 $f (x) = | c o s x |$ D、 $f (x) = | s i n x |$ ．

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15. 在空间中，下列命题为真命题的是（）．

A、若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B、若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C、若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D、若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

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16. 设 $S_{n}$ 是一个无穷数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若一个数列满足对任意的正整数 $n$ ，不等式 $\frac{S_{n}}{n} < \frac{S_{n + 1}}{n + 1}$ 恒成立，则称数列 ${a_{n}}$ 为和谐数列，给出下列两个命题：
①若对任意的正整数 $n$ 均有 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则 ${a_{n}}$ 为和谐数列；
②若等差数列 ${a_{n}}$ 是和谐数列，则 $S_{n}$ 一定存在最小值；
下列说法正确的是（）．

A、①是真命题，②是假命题 B、①是假命题，②真命题 C、①和②都是真命题 D、①和②都是假命题

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{11}$ ， $a_{13}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、计算 $\sum_{k = 1'}^{20} a_{3 k - 2}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，且 $∠ B A P = ∠ C D P = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = P D = A B = D C$ ， $∠ A P D = 90 °$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ ，求 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的线面角的大小．

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19. 近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”．现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”.如图所示，以 $E F$ 中点 $A$ 为圆心， $F G$ 为半径的扇形草坪区 $A B C$ ，点 $P$ 在弧 $B C$ 上（不与端点重合）， $A B 、弧 B C 、 C A$ 、 $P Q 、 P R 、 R Q$ 为步行道，其中 $P Q$ 与 $A B$ 垂直， $P R$ 与 $A C$ 垂直．设 $∠ P A B = θ$ ．

(1)、如果点 $P$ 位于弧 $B C$ 的中点，求三条步行道 $P Q 、 P R 、 R Q$ 的总长度；

(2)、“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用．为此街道允许在步行道 $P Q 、 P R 、 R Q$ 开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ， $A (0 ， b)$ ， $B (0 ， - b)$ ．椭圆 $C$ 内部的一点 $T (t ， \frac{1}{2})$ $(t > 0)$ ，过点 $T$ 作直线 $A T$ 交椭圆于 $M$ ，作直线 $B T$ 交椭圆于 $N$ ． $M$ 、 $N$ 是不同的两点．

(1)、若椭圆 $C$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ 的值；

(2)、设 $△ B T M$ 的面积是 $S_{1}$ ， $△ A T N$ 的面积是 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 5$ ， $b = 1$ 时，求 $t$ 的值；

(3)、若点 $U (x_{u} ， y_{u})$ ， $V (x_{v} ， y_{v})$ 满足 $x_{u} < x_{v}$ 且 $y_{u} > y_{v}$ ，则称点 $U$ 在点 $V$ 的左上方．
求证：当时，点在点 $M$ 的左上方．

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21. 已知 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的导数，并证明：函数 $y = f (x)$ 在 $[e ， + \infty)$ 上是严格减函数（常数 $e$ 为自然对数的底）；

(2)、根据（1），判断并证明 $8 9^{99}$ 与 $9 9^{89}$ 的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；

(3)、已知 $a$ 、 $b$ 是正整数， $a < b$ ， $a^{b} = b^{a}$ ，求证： $a = 2 ， b = 4$ 是满足条件的唯一一组值.

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