上海市闵行区重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知点 $A (1 ， m)$ ， $B (2 ， - 1)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为2，则 $m =$ .

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的圆心坐标是.

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3. 一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9则其射击成绩的方差为.

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4. 两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为.

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5. 单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两之间的夹角都是 $\frac{π}{3}$ ，求 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =$ .

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6. 已知事件A与事件B相互独立，如果 $P (A) = 0.5$ ， $P (A \cap \bar{B}) = 0.4$ ，那么 $P (B) =$ ．

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = 2 n^{2} + λ n + 3$ ， $n \in N^{*}$ ，且 ${a_{n}}$ 是严格递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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8. 已知无穷等比数列 ${a_{n}}$ ， $\sum_{i = 1} a_{i} = 3$ ， $\sum_{i = 1} a_{i}^{2} = \frac{9}{2}$ ，则公比 $q =$ .

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和，若 ${\sqrt{S_{n} - 2 n}}$ 也是公差为d的等差数列，则 ${a_{n}}$ 的通项为.

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10. 在平面直角坐标系中，已知点 $P (- 2 ， 2)$ ，对于任意不全为零的实数a、b ，直线 $l ： a x + b y + 2 b - a = 0$ ，若点P到直线 $l$ 的距离为d ，则d的取值范围是.

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{l g (25 - x^{2})}{| x + 5 | - 5}$ .若项数为8的等差数列 ${a_{n}}$ 公差为1，且使得 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + f (a_{3}) + \cdot \cdot \cdot + f (a_{8}) = 0$ ，则写出一个符合条件的数列的通项公式为.

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12. 已知实数x、y满足 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，则 $ω = \frac{| \sqrt{3} x + y |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的取值范围是.

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）

13. 圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - a = 0 (a \in R)$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、内含 D、以上均有可能

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14. 如图，设每个电子元件能正常工作的概率为p ，各个元件能否正常工作相互独立，则电路能正常工作的概率为（）

A、 $p + p^{2}$ B、 $p + p^{2} - p^{3}$ C、 $p^{3}$ D、 $p^{2} + p^{3}$

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15. $△ A B C$ 的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c ，若a、b、c成等比数列，且 $c = 2 a$ ，则 $c o s B$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16. 将函数 $y = \sqrt{13 - x^{2}} - 2 (x \in [- 3 ， 3])$ 的图象绕点 $(- 3 ， 0)$ 逆时针旋转 $α (0 \leq α \leq θ)$ ，得到曲线C ，对于每一个旋转角 $α$ ，曲线C都是一个函数的图象，则 $θ$ 最大时的正切值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{n}{a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是其前n项和.

(1)、计算 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，并猜想 $a_{n}$ 的通项公式，用数学归纳法证明；

(2)、记 $T_{n} = \sum_{k = 1} \frac{1}{S_{k}}$ ，求 $T_{2023}$ .

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18. 已知三条直线 $l_{1} ： 2 x - y + a = 0 (a > 0)$ ，直线 $l_{2} ： - 4 x + 2 y + 1 = 0$ ，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $\frac{7}{10} \sqrt{5}$ .

(1)、求a的值；

(2)、若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到 $l_{1}$ 的距离是点P到 $l_{2}$ 的距离的 $\frac{1}{2}$ ；③点P在直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 上，求点P的坐标。

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19. 某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准a ，用电量不超过a的部分按照平价收费，超出部分按阶价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查（单位 $k W \cdot h$ ），并绘制了如图所示的频率分布直方图：

(1)、求x的值；

(2)、求被调查用户的月用电量平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

(3)、若使85%居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少?

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20. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 m y + 4 m^{2} = 0$ ，圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 25$ ，以及直线 $l ： 3 x - 4 y - 15 = 0$ .

(1)、求圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 25$ 被直线 $l$ 截得的弦长；

(2)、当m为何值时，圆C与圆 $C_{1}$ 的公共弦平行于直线 $l$ ；

(3)、是否存在m ，使得圆C被直线 $l$ 所截的弦 $A B$ 中点到点 $P (2 ， 0)$ 距离等于弦 $A B$ 长度的一半?若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 已知数列 ${x_{n}}$ ，若存在 $B \in R$ ，使得 ${| x_{n} - B |}$ 为严格递减数列，则 ${x_{n}}$ 称为“B型数列”.

(1)、是否存在 $B \in R$ 使得有穷数列1， $\sqrt{3}$ ， 2为B型数列?若是，写出B的一个值（无需证明）；否则，说明理由；

(2)、已知2022项的数列 ${u_{n}}$ 中， $u_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot (2022 - n) (n \in N^{*} ， 1 \leq n \leq 2022)$ .求使得 ${u_{n}}$ 为B型数列的实数B的取值范围；

(3)、已知存在唯一的 $B \in R$ ，使得无穷数列 ${a_{n}}$ 是B型数列.证明：存在递增的无穷正整数列 $n_{1} < n_{2} < \cdot \cdot \cdot < n_{k} < \cdot \cdot \cdot$ ，使得 ${a_{n_{2 k - 1}}}$ 为严格递增数列， ${a_{n_{2 k}}}$ 为严格递減数列.

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