上海市浦东新区建平中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、填空题(本大题共有12小题，满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.

1. 已知集合 $A = {- 2 x ， x^{2} - x} ， B = {2}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $x =$ .

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2. 已知一个扇形的圆心角大小为 $\frac{π}{3}$ ，弧长为 $\frac{2 π}{3}$ ，则其面积为.

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3. 已知幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 4 m - 3) x^{m^{2} - 1}$ 在 $[π^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$ 上是严格减函数，则 $m =$ .

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (2 | t | ， - 2 t)$ ，其中 $t \neq 0$ ，则角 $α$ 的余弦值为.

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5. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6}$ ，集合 $A = {x | 2^{2 x - 1} > 8} ， B = {x | x^{2} = x}$ ，则 $A ∩ \bar{B} =$ .

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6. 若函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{a - x^{2}}$ 为偶函数且非奇函数，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7. 定义在 $(- 1 ， 2)$ 上的函数 $y = | l g (x + a) |$ 不存在反函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8. 已知 $α ： - 2 < x < 5 ， β ： 3 a - 2 \leq x \leq 2 a$ ，且 $α$ 的充分不必要条件是 $β$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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9. 如果关于 $x$ 的一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ （ $a_{k} \in R ， k = 0 ， 1 ， 2 ， 3$ 且 $a_{3} \neq 0$ ）有三个实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} =$ （用 $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 表示）

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a e^{x} + a^{2} + \frac{a - 1}{e - 1}$ ，其中 $a > 0$ ，如果函数 $f (x)$ 与 $f [f (x)]$ 函数的值域相同，则 $a$ 的取值范围是.

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11. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x + a | + | x - 1 | ， & x > 0 \\ x^{2} - a x + 2 ， & x \leq 0 \end{matrix}$ 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．

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12. 已知函数 $f (x) = x ， g (x) = a x^{2} - x$ ，其中 $a > 0$ ，若对任意的 $x_{1} \in [1 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = g (x_{1}) g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 用反证法证明命题“设 $a ， b \in N$ ，如果 $a b$ 能被5整除，那么 $a ， b$ 中至少有一个能被5整除”，假设应该是（）

A、 $a ， b$ 都能被5整除 B、 $a ， b$ 至多有一个能被5整除 C、 $a$ 或 $b$ 不能被5整除 D、 $a ， b$ 都不能被5整除

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14. 在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于 $\frac{π}{2}$ 的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角。
其中假命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} ， x 为无理数 \\ x ， x 为有理数 \end{cases}$ ，有下列两个命题：
① $f (x)$ 的值域为 $R$ ；②对任意正有理数 $a$ ，函数 $g (x) = f (x) - a$ 存在奇数个零点。
则下列判断正确的是（）

A、①②均为真命题 B、①②均为假命题 C、①为真命题②为假命题 D、①为假命题②为真命题

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，若不等式 $| f (x) | \leq 2$ 在 $x \in [1 ， 5]$ 上恒成立，则满足要求的有序数对 $(a ， b)$ 有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17. 求下列关于 $x$ 的方程的解集：

(1)、 $l o g_{3} (x + 3) + l o g_{3} (x + 4) = 1 + l o g_{3} (x + 11)$

(2)、 $| x + 2 | - | x - 1 | = - 3$

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) = e^{- x}$ .

(1)、求证： $f (x)$ 在定义域内是严格减函数.

(2)、若 $f (x^{2}) + f (- 6 t x - 1) \geq 0$ 对 $x \in [1 ， 4]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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19. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格 $P (x)$ （单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足 $P (x) = 10 + \frac{1}{x}$ 。且销售量 $Q (x)$ （单位：件）与时间 $x$ （单位：天）的部分数据如下表所示
x
10
15
20
25
30
Q(x)
50
55
60
55
50

(1)、给出以下四个函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ；② $Q (x) = a | x - m | + b$ ；③ $Q (x) = a - b x$ ；④ $Q (x) = a \cdot l o g_{b} x$ 。请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域

(2)、设该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值。

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x | x | ， x \in (- \infty ， 1] \\ 3 + \frac{2}{x - 2} ， x \in (1 ， 2) \end{cases}$

(1)、写出 $f (x)$ 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）

(2)、解不等式 $f (\sqrt{1 - x^{2}}) + 2 f (x) < 0$

(3)、若 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 2)$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < 2$

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21. 设函数 $f (x)$ 定义域为 $D$ ，如果存在常数 $K$ 满足：任取 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq K | x_{1} - x_{2} |$ ，则称 $f (x)$ 是 $L$ 型函数， $K$ 是这个 $L$ 型函数的 $L$ 常数

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} ， x \in [- 1 ， 2]$ 是不是 $L$ 型函数，并说明理由：如果是，给出一个 $L$ 常数；

(2)、设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $[m ， n]$ 上的 $L$ 型函数， $a$ 是一个常数，求证：函数 $y = f (x + a)$ 也是 $L$ 型函数；

(3)、设函数 $f (x)$ 是定义在 $[0 ， 1]$ 上的 $L$ 型函数，其 $L$ 常数 $K \in (0 ， 1]$ ，且 $f (x)$ 的值域也是 $[0 ， 1]$ ，求 $f (x)$ 的解析式

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x	10	15	20	25	30
Q(x)	50	55	60	55	50