重庆市黔江区重点中学校2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ ： $x = y$ 的倾斜角为（）

A、 $0 °$ B、 $45 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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2. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = - \sqrt{3} x$ ，则 $b =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3$

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3. 用火柴棒“”摆“金鱼”，如下图所示：
按照上面的规律，第 $n$ 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（）

A、 $6 n - 2$ B、 $8 n - 2$ C、 $6 n + 2$ D、 $8 n + 2$

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4. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形门洞高为 $2.5 m$ ，底面宽为 $1 m$ ，则该门洞的半径为（）

A、 $1.2 m$ B、 $1.3 m$ C、 $1.4 m$ D、 $1.5 m$

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5. 已知等差数列a_n中，a₂+a₄=6，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=（）

A、30 B、15 C、 $5 \sqrt{6}$ D、 $10 \sqrt{6}$

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6. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ} ， |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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7. 在我国古代数学名著 $《$ 九章算术 $》$ 中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，若直线 $C A_{1}$ 与直线 $A B$ 所成角为 $60^{\circ}$ ，则 $A A_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 4 y$ 和圆 $F$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，过抛物线的焦点 $F$ 作直线 $l$ 与上述两曲线自左而右依次交于点 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $B$ ，则 $2 |A C| + |B D|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知直线 $l_{1} ： a x + y - 3 a = 0$ ，直线 $l_{2} ： 2 x + (a - 1) y - 6 = 0$ ，则（）

A、当 $a = 3$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $(3，0)$ B、直线 $l_{1}$ 恒过点 $(3，0)$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{1}{3}$ D、存在 $a \in R$ ，使 $l_{1} / / l_{2}$

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10. 已知圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、两圆的圆心距 $O_{1} O_{2} = 2$ B、直线 $A B$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、圆 $O_{2}$ 上存在两点 $P$ 和 $Q$ 使得 $| P Q | > | A B |$ D、圆 $O_{1}$ 上的点到直线 $A B$ 的最大距离为 $2 + \sqrt{2}$

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11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图 $①$ ，已知球的体积 $\frac{4 π}{3}$ ，托盘由边长为 $4$ 的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，（即面ADE，面CDF，面BEF均垂直于底面DEF），如图 $②$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A D$ 与平面 $D E F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $C F / /$ 平面 $A D E$ C、异面直线 $A D$ 与 $C F$ 所成的角的余弦值为 $\frac{5}{6}$ D、球上的点离球托底面 $D E F$ 的最大距离为 $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} + 1$

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12. 已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上任意一点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为其左、右焦点， $O$ 为坐标原点．过点 $P$ 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，则下列所述正确的是（）

A、 $|P M| \cdot |P N|$ 为定值 B、 $O$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 四点一定共圆 C、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- b^{2}$ D、存在点 $P$ 满足 $P$ 、 $M$ 、 $F_{1}$ 三点共线时， $P$ 、 $N$ 、 $F_{2}$ 三点也共线

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 经过A（0，2），B（-1，0）两点的直线的方向向量为(1，k)，则k=.

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14. 已知数列 $1$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $4$ ， $4$ ， $4$ ， $\dots$ ， $n$ ，则该数列的第 $22$ 项为.

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15. 过点P $(0 ， - 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 = 0$ 切线，记切点分别为A，B，则 $c o s ∠ B P A =$ ．

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16. 斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ， $8$ ， $13$ ， $21$ ， $34$ ， $55$ ， $89$ ， $144$ ， $233$ ， $\dots .$ 在实际生活中，很多花朵 $($ 如梅花、飞燕草、万寿菊等 $)$ 的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，经计算发现： $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + \dots + a_{2021} = a_{m}$ （ $m \in N^{*}$ ），则m= ．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = 13$ ，其中 $a_{1} - 2 ， a_{3} ， a_{4}$ 仍成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n a_{n} + 1$ ，求 $b_{n}$ ．

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18. 已知圆C的圆心为C，且过点 $A (1 ， - 2)$ ， $B (- 1，4)$ ．

(1)、当AB为直径时，圆C的面积取得最小值，求此时圆C的标准方程及圆C的面积；

(2)、对于 $(1)$ 中的圆，设过点 $P (2 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与圆C所截得弦长为2 $\sqrt{6}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P C = P D = 2 ， M ， N$ 分别为棱 $P C ， A D$ 的中点．

(1)、求证： $D M ⊥ 面 P B C$ ；

(2)、求点 $N$ 到平面 $M B D$ 的距离．

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20. 已知 $F$ 是抛物线 ${C ： y}^{2} = 2 p x$ （ $p$ >0）的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且 $|O A| = \frac{\sqrt{5}}{4}$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、 $B$ 、 $C$ 是该抛物线上的两点， $| B F | + | C F | = 3$ ，求线段 $B C$ 的中点到 $y$ 轴的距离；

(3)、已知点H（1，1），直线 $l$ 过点 $P (3 ， - 1)$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两个不同的点 $($ 均与点H不重合 $)$ ，设直线 $H M$ ， $H N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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21. 如图，在正三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ ， $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $A_{1} A = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．

(1)、证明： $D F / /$ 平面 $A_{1} B_{1}$ E.

(2)、若 $B_{1} F ⊥$ 平面 $α$ ，求平面 $α$ 与平面 $A_{1} B_{1} E$ 夹角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左右焦点，过 $F_{1}$ 作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A B F_{2}$ 的周长为 $8 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程 $；$

(2)、过 $B$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $D$ ．
①试讨论直线 $A D$ 是否恒过定点，若是，求出定点坐标 $；$ 若不是，请说明理由．
②求△AOD面积的最大值．

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