重庆市沙坪坝区重庆名校2024届高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 1}{x - 1} \leq 0}$ ，集合 $B = {y | y = l n (x^{2} + 2 x + 2)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$

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2. 已知p：双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ， q：双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{2}{3} x$ ，则（）

A、p是q的充要条件 B、p是q的充分不必要条件 C、p是q的必要不充分条件 D、p是q的既不充分也不必要条件

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3. $l_{1} ： (a + s i n 30 °) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + (\sqrt{3} t a n 120 °) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数a的值为（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 设 $a = \frac{2 t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °}$ ， $b = \frac{s i n 86 °}{1 + c o s 86 °}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 + c o s 95 °}{1 - c o s 95 °}}$ ，则有（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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5. 已知在四面体 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是边长为 $\sqrt{5}$ 的等边三角形，侧棱长都为 $\sqrt{2}$ ， D为 $P A$ 的中点，则直线 $B P$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{24}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{24}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$

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6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）

A、216种 B、384种 C、408种 D、432种

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7. 已知 ${a_{n}}$ 为正项等比数列，且 $a_{1012} = 1$ ，若函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x} - 2 l n x + 1$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (a_{2023}) =$ （）

A、2023 B、2024 C、 $\frac{2023}{2}$ D、1012

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8. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} | = 4$ ， ${\vec{d}}^{2} - 4 \vec{b} \cdot \vec{d} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{d} |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3} + 1$ B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3} + 2$ D、 $\frac{31}{3}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的长轴长为4，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于P ， Q两点，则（）

A、离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、若线段 $P Q$ 垂直于x轴，则 $| P Q | = 3$ C、 $△ P Q F_{2}$ 的周长为8 D、 $△ P Q F_{2}$ 的内切圆半径为1

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10. 与二项式定理 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ 类似，有莱布尼兹公式： ${(u v)}^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v^{(0)} + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v^{(1)} + C_{n}^{2} u^{(n - 2)} v^{(2)} + \cdot \cdot \cdot + C_{n}^{n} u^{(0)} v^{(n)} = \sum_{n = 0} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)}$ ，其中 $u^{(k)}$ （ $k = 0 ， 1$ ， 2，…，n）为u的k阶导数， $u^{(0)} = u$ ， $v^{(0)} = v$ ，则（）

A、 $\sum_{k = 1} C_{n}^{k} = 2^{n}$ B、 $C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5} + \cdot \cdot \cdot = 2^{n - 1}$ C、 ${(u v)}^{(n)} = {(v u)}^{(n)}$ D、 $f (x) = e^{x} x^{6}$ ，则 $f^{(6)} (0) = 6!$

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11. 全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（）

A、全球游戏高手占比不超过10% B、某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1% C、如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8% D、如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%

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12. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + \frac{x}{2} f^{'} (x) = l n^{2} x + l n x$ ， $f (1) = 1$ ，且实数 $a < f (x)$ 对任意 $x > 0$ 都成立（ $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.098$ ），则（）

A、 $f^{″} (1) = 8$ B、 $f (x)$ 有极小值，无极大值 C、 $f (x)$ 既有极小值，也有极大值 D、 $a < \frac{2}{3}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = \frac{1 - a_{n}}{1 + a_{n}}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{9} =$ ．

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14. 已知 $x^{2} - 2 x + m = 0 (m \in R)$ 的两共轭虚根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $| x_{1} | + | x_{2} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $m =$ ．

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15. 已知圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，过直线 $l ： 4 x + 3 y + 1 = 0$ 上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A ， B ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值为．

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，E ， F分别是棱 $C D$ ， $D D_{1}$ 的中点，M是正方体的表面上一动点，当四面体 $B E F M$ 的体积最大时，四面体 $B E F M$ 的外接球的表面积为．

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四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

(1)、完成下列 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；

喜欢看演唱会
不喜欢看演唱会
合计
文科老师
30
理科老师
40
合计
50

(2)、三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 8$ ， $A B = 6$ ， E ， F为 $C C_{1}$ 上分别靠近C和 $C_{1}$ 的四等分点，若多面体 $A A_{1} B_{1} B E F$ 的体积为40．

(1)、求 $E F$ 到平面 $A A_{1} B_{1} B$ 的距离；

(2)、求二面角 $E - A B - B_{1}$ 的大小．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，且 $a_{n + 2} + 2 a_{n} = 3 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} (\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n + 1}})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项的和 $S_{n}$ ．

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， $a + c$ 成等比数列．

(1)、若 $A = \frac{π}{5}$ ，求角C；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为S ，求 $\frac{S}{a^{2}}$ 的取值范围．

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21. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ 的准线 $l$ 交 $x$ 轴于 $M$ ，过 $P (- 1 ， 1)$ 作斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 交 $Γ$ 于 $C ， D$ ，过 $Q (- 1 ， - 1)$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 交 $Γ$ 于 $E ， G$ ．

(1)、若抛物线的焦点 $F \in l_{2}$ ，判断直线 $l$ 与以 $E G$ 为直径的圆的位置关系，并证明；

(2)、若 $C ， E ， M$ 三点共线，
①证明： $k_{2} - k_{1}$ 为定值；
②求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 夹角 $θ$ 的余弦值的最小值．

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22. 已知 $f (x) = (x - 1) e^{2 x} - \frac{4}{3} k x^{3} + k x (k \in R)$

(1)、当 $k = 0$ 时，求 $f (x)$ 过点 $(1 ， f (1))$ 的切线方程；

(2)、若对 $\forall k \in [1 ， 2]$ ， $x \in [0 ， k]$ ，不等式 $f (x) \leq a$ 恒成立，求实数a的取值范围．
[参考不等式： $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} (x \geq 0)$ ]

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

	喜欢看演唱会	不喜欢看演唱会	合计
文科老师	30
理科老师		40
合计	50