重庆市重点中学2024届高三上学期数学12月高考适应性月考（四）试卷卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合 $A = {x \in Z | (x - 2) (x - 4) < 3}$ ，则A的子集个数为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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2. 若复数z满足 $(1 - i) \bar{z} = 3 - 4 i$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $2 \vec{A E} = \vec{E D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$

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4. 阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）

A、Y的数据较X更集中 B、若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C、若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D、 $P (X > 30) + P (Y ⩽ 30) = 1$

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5. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，下列直线中不能与圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 同时相切的是（）

A、 $\sqrt{3} x + 3 y = 0$ B、 $\sqrt{3} x - 3 y = 0$ C、 $x + \sqrt{35} y + 8 = 0$ D、 $x - \sqrt{35} y - 8 = 0$

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + 3^{x} + 3^{- x}$ ，则不等式 $f (2 x + 1) > f (x)$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- \frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， - \frac{1}{3})$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + a c o s 2 x$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 对称，若 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 2$ ，则 $a | x_{2} - x_{1} |$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

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8. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，且 $4 T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 2}$ ，则使得 $\sqrt{T_{n}} > 2024$ 的最小正整数n的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 如图，已知圆锥的轴截面 $P A B$ 为正三角形，底面圆O的直径为2．E为线段 $P B$ 的中点，C是圆O上异于A ， B的一点，D为弦 $A C$ 的中点，则（）

A、 $P A ∥$ 平面 $E O C$ B、平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D O$ C、线段 $P D$ 长度的取值范围为 $(\sqrt{3} ， 2)$ D、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值是 $2 \sqrt{3}$

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10. 设A ， B是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的两点，下列四个点中可以为线段 $A B$ 中点的是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(1 ， 4)$

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11. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图像如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上有极小值 B、 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上有极大值 C、 $g (x) = f (x) \cdot e^{- x}$ 在 $x = a$ 时取极小值 D、 $g (x) = f (x) \cdot e^{- x}$ 在 $x = b$ 时取极小值

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12. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“1”的概率均为p ．记发射信号“1”的次数为X ，记X为奇数的概率为 $f_{1}$ ， X为偶数的概率为 $f_{2}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、当 $n = 3$ ， $p ⩾ \frac{1}{2}$ 时， $P (X ⩾ 2) ⩽ \frac{1}{2}$ B、 $p = \frac{1}{2}$ 时，有 $f_{1} = f_{2}$ C、当 $n = 10$ ， $p = \frac{4}{5}$ 时，当且仅当 $X = 8$ 时概率最大 D、 $0 < p < \frac{1}{2}$ 时， $f_{1}$ 随着n的增大而增大

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若扇形的半径为2，面积为 $\frac{4}{3} π$ ，则扇形的周长为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} a_{n} = a_{n + 1} - 1$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2023项之和为．

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15. 知函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + a l n x$ 在 $(3 ， 4)$ 上存在递增区间，则实数a的取值范围为．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P点是直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上一动点，当P点的纵坐标为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} a$ 时， $∠ F_{1} P F_{2}$ 最大，则椭圆C的离心率为．

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四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2 n} = 2^{n} a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{5} = 4 S_{3} + 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + (- 1)^{n} \cdot n$ ，求 ${b_{n}}$ 的前25项和 $T_{25}$ ．

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $\frac{c o s C}{s i n B + s i n C} = \frac{s i n C}{c o s B + c o s C}$ ．

(1)、求证： $A = 2 C$ ；

(2)、求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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19. 下图甲是由梯形 $A B C D$ ， $△ B E F$ 组成的一个平面图形，其中 $A B ∥ D C$ ， $A D = B C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $D C = A E = E F = 1$ ， $B F = D E$ ．如图乙，将其沿 $D E$ ， $E B$ 折起使得 $E A$ 与 $E F$ 重合，连接 $F C$ ，直线 $F D$ 与平面 $B E F$ 所成角为60°．

(1)、证明： $E F ⊥ B F$ ；

(2)、求图乙中二面角 $E - B F - C$ 的正弦值．

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20. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = e^{x} - x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > - a x + 1$ ，求a ．

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21. 混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{0} ， y_{9})$ ．
x
141
152
168
182
195
204
223
254
277
y
23.1
24.2
27.2
27.8
28.7
31.4
32.5
34.8
36.2
以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标作出散点图，如图所示．

(1)、从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r ．结合r值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？

(2)、根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：① $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， ② $\hat{y} = 17.8789 l n x - 75.2844$ ．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - (\hat{b} x_{i} + \hat{a})$ ， ${\hat{u}}_{i} = y_{i} - (17.8789 l n x_{i} - 75.2844)$ ， $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9$ ．
（ⅰ）求 $\sum_{i = 1}^{9} {\hat{e}}_{i}$ ；
（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为 $Q_{1} = \sum_{i = 1}^{9} {({\hat{e}}_{i})}^{2} = 5.0177$ ， $Q_{2} = \sum_{i = 1}^{9} {({\hat{u}}_{i})}^{2} = 2.5007$ ，经验回归方程①的决定系数 $R_{1}^{2} = 0.9693$ ，求经验回归方程②的决定系数 $R_{2}^{2}$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\bar{y}}_{i})}^{2}}$ ， $\frac{2.5007 \times 0.0307}{5.0177} \approx 0.01530$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，圆 $M ： x^{2} + (y - 2 p)^{2} = 1$ ， F为抛物线E的焦点，过F作圆M的切线，切线长为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、已知A ， B ， C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线 $A B$ ， $A C$ 与圆M相交所得的弦长均为3，直线 $B C$ 与直线 $A F$ 垂直，求A的坐标．

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x	141	152	168	182	195	204	223	254	277
y	23.1	24.2	27.2	27.8	28.7	31.4	32.5	34.8	36.2