重庆市渝北名校2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合 $A = {x | y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}}$ ，集合 $B = {y | y = e^{x}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 3]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 3 ， + ∞)$

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 2 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{13}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为 $4 k m$ 的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为 $a_{1}$ ，第2次对折后的纸张厚度为 $a_{2} ⋯ ⋯$ ，以此类推，设纸张未折之前的厚度为 $a$ 毫米，则 $a_{13} =$ （）

A、 $2^{12} a$ B、 $4^{12} a$ C、 $2^{13} a$ D、 $4^{13} a$

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4. 若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{28}{3}$ D、28

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5. 已知 $\frac{c o s 2 θ}{s i n (θ + \frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $- \frac{15}{16}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，若对任意的正数 $a$ 、 $b$ ，满足 $f (a) + f (2 b - 2) = 0$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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7. M点是圆 $C ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点， $A B$ 为圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 的弦，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ， N为 $A B$ 的中点.则 $| M N |$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设函数 $f (x) = (a x - m e^{x}) (a x - l n x)$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），若存在实数a使得 $f (x) < 0$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(e^{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{e^{2}})$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上最小值为 $- 2$ D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到函数 $g (x) = s i n (x + \frac{π}{3}) - 1$ 的图象

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 的焦点分别为 $F_{1} (0 ， 2)$ ， $F_{2} (0 ， - 2)$ ，设直线l与椭圆C交于M ， N两点，且点 $P (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 为线段 $M N$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $m^{2} = 6$ B、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、直线l的方程为 $3 x + y - 2 = 0$ D、 $△ F_{2} M N$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上一动点，下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - B C E$ 的体积为定值 B、若 $A_{1} E ∥ B_{1} C$ ，则 $A_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、若 $A D_{1} ⊥ B_{1} E$ ，则 $A_{1} B$ 与平面 $B_{1} C E$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $B_{1} E ∥$ 平面 $B D C_{1}$ ，则 $B_{1} E$ 与 $A B$ 所成角的正弦最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数且定义域为 $R$ .若 $g (x)$ 为偶函数， $f (x) + g^{'} (x) - 5 = 0$ ， $f (x) - g^{'} (4 - x) - 5 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (4) = 5$ B、 $g^{'} (- 4) = 1$ C、 $f (1) + f (3) = 10$ D、 $g^{'} (- 2) + f (2) = 10$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．

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14. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $- a_{1}$ ， $\frac{3}{4} a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，若 $a_{1} = 1$ ，则 $S_{4} =$ ．

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15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A B D = ∠ A B C = 60 °$ ， $B C = B D = 2$ ， $A B = 4$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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16. 在直角 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ A C ， A C = \sqrt{3} ， A B = 1$ ，平面 $A B C$ 内动点 $P$ 满足 $C P = 1$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{n + 1}{a_{n + 1}} + \frac{n}{a_{n}} = 0$ .

(1)、求证： ${{(- 1)}^{n - 1} a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = b (\sqrt{3} s i n C + c o s C)$ ．

(1)、求B；

(2)、已知 $B C = 2 \sqrt{3}$ ， D为边 $A B$ 上的一点，若 $B D = 1$ ， $∠ A C D = \frac{π}{2}$ ，求 $A C$ 的长．

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19. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A ， B ， C三个项目，三个测试项目相互不受影响.

(1)、若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从 $A ， B ， C$ 三个项目中选一项测试，且他测试 $A ， B ， C$ 三个项目“通过”的概率分别为 $\frac{3}{5} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}$ .求他第一项测试“通过”的概率；

(2)、现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择 $A - B - C$ 的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为 $a$ ，第三项通过的概率为 $b$ .若他获得一等奖的概率为 $\frac{1}{8}$ ，求他获得二等奖的概率 $P$ 的最小值.

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20. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $∠ B_{1} B D = \frac{π}{3}$ ， $∠ B_{1} B A = ∠ B_{1} B C$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证：直线 $A C ⊥$ 平面 $B D B_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - D$ 的余弦值．

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21. 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有共同的焦点的椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $N (0 ， - 2)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $x$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $B D$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ .求 $| O P | + | O Q |$ 的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} e^{x}$ ， $g (x) = a (x + 1)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，若关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = 0$ 存在两个正实数根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，证明： $a > e^{2}$ 且 $x_{1} x_{2} < x_{1} + x_{2}$ .

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