重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二上学期数学12月月考试题

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 经过点 $(1 ， 0)$ 且圆心是两直线 $x = 1$ 与 $x + y = 2$ 的交点的圆的方程为（）

A、 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ B、 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ C、 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ D、 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$

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2. 经过点 $(1 ， 1)$ 且斜率为1的直线方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x + y - 2 = 0$

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3. 已知a ， b为异面直线，A∈a ， B∈a ， C∈b ， D∈b ， AC⊥b ， BD⊥b ， AB＝2，CD＝1，则a ， b所成的角θ为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 若直线 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 与直线 $2 \sqrt{3} x + m y + 3 = 0$ 平行，则它们之间的距离是（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、3 D、4

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5. 直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{55}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{55}}{5}$

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6. $P$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 对角线 $B D_{1}$ 上的一点，且 $B P = λ B D_{1} (λ \in (0 ， 1))$ ，下面结论不正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥ C_{1} P$ B、若 $B D_{1} ⊥$ 平面PAC ，则 $λ = \frac{1}{3}$ C、若 $△ P A C$ 为钝角三角形，则 $λ \in (\begin{array}{l} 0 ， \frac{1}{2} \end{array})$ D、若 $λ \in (\begin{array}{l} \frac{2}{3} ， 1 \end{array})$ ，则 $△ P A C$ 为锐角三角形

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7. 如图， $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 分别为双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作直线 $l$ ，使直线 $l$ 与圆 $(x - c)^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切于点P ，设直线 $l$ 交双曲线 $Γ$ 的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 $F_{1} P$ 上），若 $| F_{1} A | ： | A B | ： | B P | = 2 ： 2 ： 1$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $5$ B、 $\frac{\sqrt{265}}{5}$ C、 $2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6} + \sqrt{3}$

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8. 抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，准线l交x轴于点 $Q (- 2 ， 0)$ ，过焦点的直线m与抛物线C交于A ， B两点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $| A B | ≥ 10$ C、直线AQ与BQ的斜率之和为0 D、准线l上存在点M ，若 $△ M A B$ 为等边三角形，可得直线AB的斜率为 $\pm 1$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9. 若三条直线 $(a^{2} - 3 a + 1) x - 2 y + 5 = 0$ ， $y = 2 x$ ， $x + 2 y = 5$ 交于一点，则a的值为（）

A、 $- 2$ B、3 C、1 D、2

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10. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{b} | = 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线 B、若 $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， - 6)$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线 C、若 $\vec{b} = (- 2 ， 0 ， - 3)$ ， $\vec{c} = (0 ， - 1 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面 D、若 $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{c} = (3 ， 2 ， - 1)$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面

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11. 如图， $O A ， O B ， O C$ 两两垂直，且 $O A = 1 ， O B = 2 ， O C = 2$ ，以点 $O$ 为坐标原点， $O A ， O B ， O C$ 所在直线分别为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴建立空间直角坐标系 $O - x y z$ ，则（）

A、点 $A$ 关于点 $B$ 的对称点的坐标为 $(- 1 ， 4 ， 0)$ B、 $\vec{A B} ， \vec{B C}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、平面 $A B C$ 的一个法向量的坐标为 $(2 ， 1 ， 1)$ D、平面 $A B C$ 与平面 $C O A$ 夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 同时为椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 的左右焦点，设椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内交于点M ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{1}^{2} - b_{1}^{2} = a_{2}^{2} - b_{2}^{2}$ B、若 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $b_{1}^{2} = 3 b_{2}^{2}$ C、若 $| F_{1} F_{2} | = 2 | M O |$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 2$ D、若 $| F_{1} F_{2} | = 3 | M F_{2} |$ ，则 $e_{1} e_{2}$ 的取值范围是 $(\frac{3}{5} ， 3)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若直线 $x + y + 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a =$ ．

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14. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，若 $P$ 在椭圆 $M$ 上， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $M$ 的左、右焦点，满足 $| P F_{1} | = | P F_{2} |$ ，则 $∠ P F_{1} F_{2} =$ .

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，过F点作圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的一条切线，切点为T ，延长FT交椭圆C于点A ，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为．

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E \in$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，点 $F$ 是线段 $A A_{1}$ 的中点，若 $D_{1} E ⊥ C F$ ，则当 $△ E B C$ 的面积取得最小值时，三棱锥 $E - B C C_{1}$ 外接球的体积为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率．

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18. 已知点F为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $A (a ， 4)$ 在抛物线上，且 $| A F | = 5$ ．

(1)、求该抛物线的方程；

(2)、若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求 $△ A O M$ 的面积．

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19. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1}$ 为圆心以3为半径的圆与以 $F_{2}$ 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．

(1)、求C的方程；

(2)、若点 $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $P_{2}$ 在椭圆C上，原点O为 $△ P_{0} P_{1} P_{2}$ 的重心，证明： $△ P_{0} P_{1} P_{2}$ 的面积为定值．

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20. 已知线段AB的端点B的坐标是 $(6 ， 5)$ ，端点A在圆 $C_{1} ： {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上运动.

(1)、求线段AB的中点P的轨迹C₂的方程：

(2)、设圆C₁与曲线C₂的交点为M、N ，求线段MN的长．

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21. 如图，在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，平面 $A B C D$ 过上下底面的圆心 $O_{2}$ ， $O_{1}$ ，点M在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，N为 $A M$ 的中点， $O_{1} B = 2 O_{2} C = 2$ .

(1)、求证：平面 $A M C ⊥$ 平面 $O_{1} O_{2} N$ ；

(2)、当 $\overset{⌢}{A M} = \overset{⌢}{M B}$ 时， $C M$ 与底面 $⊙ O_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ，求二面角 $M - A C - B$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为4，直线 $l_{1} ： y = \frac{b}{c} x$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点， $F_{2}$ 关于直线 $l_{1}$ 的对称点为 $E (0 ， b)$ 斜率为 $- 1$ 的直线 $l_{2}$ 与线段 $A B$ 相交于点 $P$ ，与椭圆相交于 $C$ ， $D$ 两点．

(1)、求椭圆的标准方程．

(2)、求四边形 $A C B D$ 的面积取值范围．

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