上海市嘉定区2023-2024学年高三数学第一次质量调研试

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分．

1. 不等式 $x^{2} - x - 6 < 0$ 的解集为．

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2. 已知 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $2 \vec{a} + 3 \vec{b} =$ ．

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3. 函数 $y = s i n π x$ 的最小正周期为．

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4. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{2}) =$ ．

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的离心率为．

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6. 已知事件A和B独立， $P (A) = \frac{1}{4} ， P (B) = \frac{1}{13}$ ，则 $P (A ∩ B) =$ ．

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7. 已知实数a、b满足 $a b = - 6$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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8. 已知 $(1 + 2 x)^{6}$ 的二项展开式中系数最大的项为．

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9. 关于x的方程 $| x^{2} - 3 x + 2 | = m x$ 有三个不同的实数解，则实数m的值为．

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10. 已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为．

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11. 已知复平面上一个动点Z对应复数z ，若 $| z - 4 i | \leq 2$ ，其中i是虚数单位，则向量 $\vec{O Z}$ 扫过的面积为．

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12. 正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， A B = 3 ， A_{1} B_{1} = 1 ， A A_{1} = 2 ， M$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，在直线 $A A_{1} 、 B C$ 上各取一个点P、Q ，使得M、P、Q三点共线，则线段 $P Q$ 的长度为．

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二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分．

13. 直线倾斜角的取值范围为（）

A、 $[0 ， \frac{π}{2})$ B、 $[0 ， \frac{π}{2}]$ C、 $[0 ， π)$ D、 $[0 ， π]$

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14. 两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（）

第一跳
第二跳
第三跳
第四跳
第五跳
甲
85.5
96
86.4
75.9
94.4
乙
79.5
80
95.7
94.05
86.4

A、甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙 B、甲的均分大于乙，甲的方差大于乙 C、甲的均分大于乙，甲的方差等于乙 D、甲的均分大于乙，甲的方差小于乙

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，公差为 $d ， f (x) = | x - a_{1} | + | x - a_{2} |$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x) (x \in R)$ 可能是奇函数 B、若函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数，则 $d = 0$ C、若 $d = 0$ ，则函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数 D、若 $d \neq 0$ ，则函数 $y = f (x) (x \in R)$ 的图像是轴对称图形

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16. 已知四面体 $A B C D ， A B = B C ， A D = C D$ ．分别对于下列三个条件：
① $A D ⊥ B C$ ；② $A C = B D$ ；③ $A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ ，
是 $A B ⊥ C D$ 的充要条件的共有几个（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、解答题（本大题满分8分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17. 已知三角形 $A B C ， \vec{C A} \cdot \vec{C B} = 1$ ，三角形的面积 $S = \frac{1}{2}$ ，

(1)、求角C的值；

(2)、若 $s i n A c o s A = \frac{\sqrt{3}}{4} ， a = 2$ ，求c ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， S_{n} = n^{2} + n$ ，其中 $n \in N ， n \geq 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $H_{n}$ ．

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19. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，

圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽， $h > b$
抗弯截面系数
$W_{1} = \frac{π}{4} r^{3}$
$W_{2} = \frac{1}{6} a^{3}$
$W_{3} = \frac{1}{6} b h^{2}$

(1)、假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；

(2)、宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为 $3 ： 2$ 的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ，如下图所示，请问 $h ： b$ 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．

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20. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一动点 $P (s ， t) ， t > 0$ ．过点P作抛物线的切线l ，再过点P作直线m ，使得 $m ⊥ l$ ，直线m和抛物线的另一个交点为Q ．

(1)、当 $s = 1$ 时，求切线l的直线方程；

(2)、当直线l与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形 $O P Q$ 的面积（点O是坐标原点）；

(3)、求出线段 $| P Q |$ 关于s的表达式，并求 $| P Q |$ 的最小值；

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21. 已知 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} ， g (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x) 、 y = g (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、请严格证明曲线 $y = f (x) 、 y = g (x)$ 有唯一交点；

(3)、对于常数 $a \in (0 ， \frac{1}{e})$ ，若直线 $y = a$ 和曲线 $y = f (x) 、 y = g (x)$ 共有三个不同交点 $(x_{1} ， a) 、 (x_{2} ， a) 、 (x_{3} ， a)$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求证： $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ 成等比数列．

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	第一跳	第二跳	第三跳	第四跳	第五跳
甲	85.5	96	86.4	75.9	94.4
乙	79.5	80	95.7	94.05	86.4

	圆形截面	正方形截面	矩形截面
条件	r为圆半径	a为正方形边长	h为矩形的长，b为矩形的宽， $h > b$
抗弯截面系数	$W_{1} = \frac{π}{4} r^{3}$	$W_{2} = \frac{1}{6} a^{3}$	$W_{3} = \frac{1}{6} b h^{2}$