安徽省亳州市2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ，则 $t a n A$ 的值是（）

A、 $\frac{b}{a}$ B、 $\frac{a}{b}$ C、 $\frac{a}{c}$ D、 $\frac{b}{c}$

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2. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $A B = 5$ ， $B C = 2$ ，则 $s i n A$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $B C = 3$ ， $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折后，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，若 $A^{'}$ 为 $C E$ 的中点，则折痕 $D E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 如图， $△ A B C$ 的顶点都是正方形网格中的格点，则 $c o s ∠ A B C$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $s i n A = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 观察下列各式：① $s i n 5 9^{∘} > s i n 2 8^{∘}$ ；② $0 < c o s α < 1$ （ $α$ 是锐角）；③ $t a n 3 0^{∘} + t a n 4 5^{∘} = t a n 7 5^{∘}$ ，其中成立的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 边上的点，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $E C = 2 B E$ ，则 $\frac{B F}{B D}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 两个不同的二次函数 $y = k x^{2} - x$ 与 $y = - x^{2} + k x$ 的图象有相同的对称轴，则下列结论不正确的是（）

A、这两个函数图象的开口方向相反 B、这两个函数图象的都经过点 $(1 ， 0)$ C、这两个函数图象的关于 $x$ 轴对称 D、二次函数 $y = - x^{2} + k x$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，在边 $B C$ 的延长线上取一点 $P$ ，过点 $P$ 的直线分别交 $A B$ ， $A C$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{B C}{D E} = \frac{P B}{P D}$ B、 $\frac{B C}{D E} = \frac{P E}{P C}$ C、 $\frac{P C}{P B} = \frac{C E}{B D}$ D、 $\frac{P E}{P D} = \frac{C E}{B D}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 写一个图象顶点为 $(1 ， - 2)$ 的二次函数表达式：.

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12. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $A C = 2 B C$ ，则 $c o s A$ 的值是.

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13. 某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ 的笔直高架桥起点 $A$ 开始爬行，行驶了15米到达点 $B$ ，则此时汽车离地面的高度为米.

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时， $- 1 \leq y \leq 1$ .

(1)、若 $b = 0$ ， $c = 1$ ，则 $a =$ .

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (1 ， - 1)$ 和点 $B (- 1 ， 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 计算： $s i n^{2} 4 5^{∘} - c o s 3 0^{∘} - \frac{\sqrt{3}}{2} t a n 3 0^{∘} + t a n 6 0^{∘}$ .

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16. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 1)$ ， $B (2 ， - 3)$ ， $C (m ， 3)$ 分别位于三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，求反比例函数的表达式和 $m$ 的值.

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 一船自西向东航行，在 $A$ 得到消息，在其北偏东53°方向，距离30海里的点 $B$ 处，测得有一暗礁群在以点 $B$ 为圆心， $10 \sqrt{3}$ 海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险?说明理由.（参考数据： $s i n 5 3^{∘} \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 5 3^{∘} \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 5 3^{∘} \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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18. 如图，在正方形网格内，已知格点 $△ A B C$ ，点 $O$ 和线段 $D E$ ，且 $O$ ， $D$ ， $E$ 都在格点上.

(1)、以点 $O$ 为位似中心，在正方形网格内作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 的相似比为 $2 ： 1$ ；

(2)、以 $D E$ 为一边，画出一个 $△ D E F$ ，使 $△ D E F ∽ △ A B C$ .

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 某风景区，水竹亭 $B$ 在紫微阁 $A$ 的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在 $A$ ， $B$ 之间修建一条直通景观隧道（如图）.为测量 $A$ ， $B$ 两点之间距离，在一条东西方向的公路 $l$ 上选择 $P$ ， $Q$ 两点分别观测 $A$ ， $B$ ，已知点 $A$ 在点 $P$ 的北偏东42°方向上，点 $B$ 在点 $Q$ 的北偏东30°方向上， $B Q = 1200$ 米， $P Q = 2100$ 米，试求 $A$ ， $B$ 两点之间的距离.（参考数据： $s i n 4 2^{∘} \approx 0.67$ ， $c o s 4 2^{∘} \approx 0.74$ ， $t a n 4 2^{∘} \approx 0.90$ ，其中 $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的一点，且 $A D = B D = C D$ ， $D E ⊥ B C$ ， $D E$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ， $E C$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ .

(1)、证明： $△ A E F ∽ △ C D F$ ；

(2)、若 $S_{△ E F D} = 3$ ， $E F ： A F = 3 ： 5$ ，求 $△ A F C$ 的面积.

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六、（本题满分12分）

21. 如图，已知正比例函数 $y_{1} = \frac{1}{4} x$ 和反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (4 ， m)$ .

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、观察图象，直接写出当 $y_{2} - y_{1} > 0$ 时，自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、将直线 $y_{1} = \frac{1}{4} x$ 沿 $y$ 轴向上平移，使平移后的直线与 $x$ 轴交于 $B (- 6 ， 0)$ ，与双曲线在第一象限内交于点 $C$ ，求点 $C$ 的坐标.

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七、（本题满分12分）

22. 新年即将到来，某电商销售 $A$ ， $B$ 两种学生台历，它们进价相同， $A$ 种学生台历售价可变，最低售价不能低于进价，最高利润不超过4元， $B$ 种学生台历售价不变.它们的每本销售利润与每周销售量如下表：（售价 $=$ 进价+利润）
品牌
$A$
$B$
每本销售利润/元
$x$
2
每周销售量/本
$- 300 x + 1200$
当 $0 < x \leq 3$ 时， $120 x + 140$
当 $3 \leq x \leq 4$ 时，500

(1)、当 $A$ 种学生台历每周销售量为600本时， $B$ 种学生台历每周销售多少本?

(2)、 $A$ 种学生台历每本利润定为多少元时，电商每周销售学生台历可获得最大总利润?并求最大总利润.

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八、（本题满分14分）

23. 在锐角三角形 $A B C$ 中， $A D$ ， $B E$ 是高，延长 $B E$ 至点 $M$ ，再连接 $A M$ 并延长，与 $B C$ 的延长线交于点 $N$ ，已知 $A B = A C = B M$ ，请你探究：

(1)、当 $∠ B A D = α$ 时.
①求 $∠ A M B$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；
②求证： $A D = D N$ ；

(2)、求 $\frac{B C}{M N}$ 的值.

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