安徽省宿州市砀山重点中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。

1.
如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（　　）

A、圆 B、圆柱 C、梯形 D、矩形

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2. 如图， $△ A B C ∽ △ D E F$ ，则 $∠ E$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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3. 下列反比例函数图象一定在二、四象限的是（）

A、 $y = - \frac{k}{x}$ B、 $y = - \frac{k + 1}{x}$ C、 $y = - \frac{k^{2} + 1}{x}$ D、 $y = - \frac{k - 1}{x}$

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4. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{2 x - y}{2 x + y}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{7}$

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5. 二维码越来越普及到人们生活的方方面面，成为了广大民众生活中不可或缺的一部分.如图是小刚在面积为16的正方形纸片上打印的二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（）

A、9.6 B、0.6 C、6.4 D、0.4

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6. 已知一个等腰三角形的面积为 $12 c m^{2}$ ，底边长为 $y c m$ ，底边上的高为 $x c m$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 方程 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ 的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（）

A、15 B、12或15 C、12 D、18或9

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8. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起.则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 二氧化氯固体溶于水可制得二氧化氯消毒液.有甲、乙、丙、丁四瓶二氧化氯消毒液，如图，平面直角坐标系中， $x$ 轴表示消毒液的质量， $y$ 轴表示二氧化氯的浓度（瓶中二氧化氯固体的质量与消毒液的质量的比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶消毒液中含二氧化氯固体质量最多的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，中线 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ，连接 $D E$ ，下列结论：① $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ ；② $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{1}{3}$ ；③ $\frac{A D}{A B} = \frac{O E}{O B}$ ；④ $S_{△ D O E} = \frac{1}{12} S_{△ A B C}$ .其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $P$ ，则 $k =$ .

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12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明” $．$ 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．

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13. 一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有种（三视图中没有空白部分）.

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 10$ ，将矩形 $A B C D$ 分割成矩形 $A B N M$ 和矩形 $C D M N$ .

(1)、若矩形 $C D M N$ 与矩形 $A B C D$ 相似，则 $D M$ 的长是.

(2)、若矩形 $A B N M$ 与矩形 $C D M N$ 相似（两矩形全等的情况除外），则 $D M$ 的长是.

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 如图，已知 $O$ 是坐标原点， $B$ ， $C$ 两点的坐标分别为 $(3 ， - 1)$ ， $(2 ， 1)$ .

(1)、以点 $O$ 为位似中心在 $y$ 的左侧将 $△ O B C$ 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；并分别写出 $B$ ， $C$ 对应点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，若 $△ O B C$ 内部有一点 $M (m ， n)$ ，则其对应点 $M^{'}$ 的坐标是.

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16. 如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程.

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象与直线 $x = - 3$ 交于点 $P$ ， $△ A O P$ 的面积等于3.

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、利用图象，求当 $- 3 < x < 0$ 时， $y$ 的取值范围.

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18. 如图，方格网的小方格是边长为1的正方形， $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的顶点都是格点.判断 $∠ B$ 与 $∠ B^{'}$ 是否相等，为什么？

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $C E$ ， $D F$ 相交于点 $O$ .

(1)、求证： $C E ⊥ D F$ ；

(2)、如果点 $G$ ， $H$ 分别是 $C E$ ， $D F$ 的中点，连接 $C H$ 并延长交 $A D$ 于 $P$ ，连接 $G H$ ，若 $A B = 4$ ，求 $G H$ 的长.

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $m$ ， $n$ ， $t (m ⩽ n)$ 分别是菱形 $A B C D$ 的两条对角线长和边长，这时我们把关于 $x$ 的形如 $m x^{2} + 2 \sqrt{2} t x + n = 0$ 的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解决下列问题：

(1)、填空：①当 $m = 4$ ， $n = 8$ 时， $t =$ ；②用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $t^{2} =$ ；

(2)、求证：关于 $x$ 的“菱系一元二次方程” $m x^{2} + 2 t x + \frac{1}{2} n = 0$ 必有实数根.

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六、（本题满分12分）

21. 有两组正面都分别写有数字“1”“2”“3”“4”的纸牌各四张，第1组正面向上在桌面上排列成“1234”一组数，第2组背面向上，打乱后随机排列在桌面上，如图.从第2组中任意抽取一张，将这张纸牌正面向上插入第1组中数字与它相同的纸牌之后，组成一组新数.
第1组第2组

(1)、从第2组中抽取1张纸牌插入第1组的纸牌中，组成“12234”这组数的概率是多少？

(2)、若依次从第2组的四张纸牌中抽取2张，按要求分别插入第1组纸牌中，则组成一组数为“122334”的概率是多少？

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七、（本题满分12分）

22. 如图，直线 $y = a x + a (a \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $A$ .

(1)、①点 $A$ 的坐标是；
②过点 $C$ 作 $C B ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $S_{△ A B C} = 2$ ，求双曲线的函数表达式；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = \sqrt{17}$ ，求点 $C$ 和点 $D$ 的坐标.

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八、（本题满分14分）

23. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 中点，点 $E$ 在 $A C$ 上， $A D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ， $∠ A D C = ∠ B E C$ .

(1)、求证： $∠ E B C = ∠ D A C$ ；

(2)、若 $A D = B F$ ，求 $\frac{A D}{D F}$ 的值；

(3)、如图2，若 $A D = B F$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $E C = 2$ ，直接写出 $B E^{2}$ 的值.

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