贵州省2023-2024学年九年级上学期期末模拟考试数学试题（人教版）

试卷更新日期：2024-01-15 类型：期末考试

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一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向下平移 $2$ 个单位，所得抛物线的表达式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = x^{2} - 2$ C、 $y = (x + 2)^{2}$ D、 $y = (x - 2)^{2}$

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3. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 如图，点A ， B ， C ， D在 $⊙ O$ 上， $∠ D A B = 40 °$ ，则 $∠ D C B$ 度数为（）

A、 $80 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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5. 下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是 $360 °$ ；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 图中的五角星图案，绕着它的中心 $O$ 旋转 $n °$ 后，能与自身重合，则 $n$ 的值至少是（）

A、144 B、120 C、72 D、60

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + a - 4$ 图象与x轴的一个交点坐标是 $(3 ， 0)$ ，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 2 a x + a - 4 = 0$ 的两个实数根是（）

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = - 5$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 7$ ， $x_{2} = 3$

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8. 下面的四个问题中，变量 $y$ 与变量 $x$ 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A、汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程 $y$ 与行驶时间 $x$ B、当电压一定时，通过某用电器的电流 $y$ 与该用电器的电阻 $x$ C、圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积 $y$ 与底面圆的半径 $x$ D、用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积 $y$ 与一边长 $x$

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二、填空题（共16分，每题2分）

9. 一元二次方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的实数根为．

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10. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C ，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于．

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11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为．

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12. 一个扇形的半径是 $3 c m$ ，圆心角是 $60 °$ ，则此扇形的面积是 $c m^{2}$ ．

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13. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点 $(0 ， 1)$ ，写出一个符合题意的二次函数的表达式．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (4 ， 0)$ ， $B (3 ， 3)$ ，点P是 $△ O A B$ 的外接圆的圆心，则点P的坐标为．

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15. 十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为 $d$ 的平行线，用一根长度为 $l (l < d)$ 的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为 $\frac{2 l}{π d}$ ，可以通过这一试验来估计 $π$ 的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取 $l = \frac{1}{2} d$ ，得到试验数据如下表：
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
$0.3300$
$0.3115$
$0.3196$
$0.3180$
$0.3209$
$0.3173$
$0.3187$
$0.3180$
可以估计出针与直线相交的概率为（精确到 $0.001$ ），由此估计 $π$ 的近似值为（精确到 $0.01$ ）．

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16. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 $x O y$ ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度 $y$ （单位：m）与水平距离 $x$ （单位：m）近似满足函数关系 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ．
小明进行了两次掷实心球训练．
1 第一次训练时，实心球的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
$2.0$
$2.7$
$3.2$
$3.5$
$3.6$
$3.5$
$3.2$
根据上述数据，实心球竖直高度最大值是m；
⑵第二次训练时，实心球的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 0.09 {(x - 4)}^{2} + 3.6$ ，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为 $d_{1}$ ，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ $d_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24，25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ ．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出该函数的图象；

(2)、当 $- 3 ≤ x < 0$ 时，结合函数图象，直接写出 $y$ 的取值范围．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + m - 1 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、如果方程有一个根为正数，求 $m$ 的取值范围．

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20. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图， $⊙ O$ 及 $⊙ O$ 外一点P ．求作：过点P的 $⊙ O$ 的切线．
作法：
①连接 $O P$ ，分别以点O、点P为圆心，大于 $\frac{1}{2} O P$ 的长为半径作弧，两弧交于点M、点N ，作直线 $M N$ 交 $O P$ 于点T：
②以点T为圆心， $T P$ 的长为半径作圆，交 $⊙ O$ 于点A、点B；
③作直线 $P A$ ， $P B$ ．
所以直线 $P A$ ， $P B$ 就是所求作的 $⊙ O$ 的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）：

(2)、完成下面证明．
证明：连接 $O A$ ．
$∵ O P$ 是 $⊙ T$ 的直径，
$∴ ∠ O A P =$ ▲ （ ▲ ）（填推理的依据）．
$∴ O A ⊥ A P$ ．
又 $∵$ OA为 $⊙ O$ 的半径，
$∵$ 直线 $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线（ ▲ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线 $P B$ 也是 $⊙ O$ 的切线．

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21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成.2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．

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22. 在证明圆周角定理时，小岩所在的学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种，完成证明．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

已知： $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角为 $∠ B A C$ ，圆心角为 $∠ B O C$ ．

求证： $∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ．

证明：

情况一（如图1）：

点 $O$ 在 $∠ B A C$ 的一边上．

$∵ O A = O C$

$∴ ∠ A = ∠ C$ ．

$∵ ∠ B O C = ∠ A + ∠ C$ ，

$∴ ∠ B O C = 2 ∠ A$ ．

即 $∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ．

情况二（如图2）：

点 $O$ 在 $∠ B A C$ 的内部．

情况三（如图3）：

点 $O$ 在 $∠ B A C$ 的外部．

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23. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A ， B之间电流能够通过的概率．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ ， $B C$ 是弦，过点O作 $O D ∥ B C$ 交 $A C$ 于点D ，过点A作 $⊙ O$ 的切线与 $O D$ 的延长线交于点P ，连接 $P C$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线：

(2)、如果 $∠ B = 2 ∠ C P O ， O D = 1$ ，求 $P C$ 的长．

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25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为 $10 d m^{3}$ ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3 $d m$ ，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：

(1)、设长方体包装盒的底面边长为x $d m$ ，表面积为 $y d m^{2}$ 、可以用含x的代数式表示长方体的高为 $\frac{10}{x^{2}} d m$ ．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．
得到y与x的关系式：（ $0 < x \leq 3$ ）；

(2)、列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）
x/ $d m$
…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
$y / d m^{2}$
…
80.5
42.0
31.2
①
28.5
31.3

(3)、在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：

(4)、结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为 $d m$ 时，需要的材料最省．

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26. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(1 ， m)$ 和点 $(3 ， n)$ 在抛物线 $y = x^{2} + b x$ 上．

(1)、当 $m = 0$ 时，
①求抛物线的对称轴；
②若点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(t ， y_{2})$ 在抛物线上，且 $y_{2} > y_{1}$ ，直接写出t的取值范围；

(2)、若 $m n < 0$ ，求b的取值范围．

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27. 已知等边 $△ A B C$ ，点 $D$ 、点 $B$ 位于直线 $A C$ 异侧， $∠ A D C = 30 °$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 之间的数量关系：I． $A D + C D = B D$ ；II． $A D^{2} + C D^{2} = B D^{2}$ ，其中正确的是 ▲ （填“I”或“II”）；

(2)、如图2，当点 $D$ 不在 $B C$ 的延长线上时，连接 $B D$ ，判断（1）②中线段 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 内的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下定义：如果点 $P$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $P^{'}$ ，点 $P^{'}$ 落在图形 $M$ 上或图形 $M$ 围成的区域内，那么称点 $P$ 是图形 $M$ 关于原点 $O$ 的“伴随点”．

(1)、已知点 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (3 ， 2)$ ． ①在点 $P_{1} (- 1 ， 0)$ ， $P_{2} (- 1 ， 1)$ ， $P_{3} (- 1 ， 2)$ 中，点 ▲ 是线段 $A B$ 关于原点 $O$ 的“伴随点”；②如果点 $D (m ， 2)$ 是 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 的“伴随点”，求 $m$ 的取值范围；

(2)、 $⊙ E$ 的圆心坐标为 $(1 ， n)$ ，半径为1，如果直线 $y = - x + 2 n$ 上存在 $⊙ E$ 关于原点 $O$ 的“伴随点”，直接写出 $n$ 的取值范围．

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试验次数	1500	2000	2500	3000	3500	4000	4500	5000
相交频数	495	623	799	954	1123	1269	1434	1590
相交频率	$0.3300$	$0.3115$	$0.3196$	$0.3180$	$0.3209$	$0.3173$	$0.3187$	$0.3180$

水平距离x/m	0	1	2	3	4	5	6
竖直高度y/m	$2.0$	$2.7$	$3.2$	$3.5$	$3.6$	$3.5$	$3.2$

x/ $d m$	…	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
$y / d m^{2}$	…	80.5	42.0	31.2	①	28.5	31.3