2013年高考理数真题试卷（陕西卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. 设全集为R，函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的定义域为M，则∁_RM为（）

A、[﹣1，1] B、（﹣1，1） C、（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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2. 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）

A、25 B、30 C、31 D、61

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3. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为向量，则| $\vec{a}$ • $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ || $\vec{b}$ |是“ $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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5.
如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）

A、 $1 - \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2} - 1$ C、 $2 - \frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6. 设z₁ ， z₂是复数，则下列命题中的假命题是（）

A、若|z₁﹣z₂|=0，则 $\bar{z_{1}}$ = $\bar{z_{2}}$ B、若z₁= $\bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}}$ =z₂ C、若|z₁|=|z₂|，则z₁• $\bar{z_{1}}$ =z₂• $\bar{z_{2}}$ D、若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²

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7. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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8. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} {(x - \frac{1}{x})}^{6} ， x < 0 \\ - \sqrt{x} ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）

A、﹣20 B、20 C、﹣15 D、15

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9. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）

A、[15，20] B、[12，25] C、[10，30] D、[20，30]

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10. 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）

A、[﹣x]=﹣[x] B、[2x]=2[x] C、[x+y]≤[x]+[y] D、[x﹣y]≤[x]﹣[y]

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二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ ，则m等于．

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12. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为．

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13. 若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为．

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14. 观察下列等式：
1²=1
1²﹣2²=﹣3
1²﹣2²+3²=6
1²﹣2²+3²﹣4²=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为．

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15. （不等式选做题）
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为．

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16. （几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE= ．

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17.
（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x²+y²﹣x=0的参数方程为．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤

18. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosx，﹣ $\frac{1}{2}$ ）， $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求f（x）的最小正周期．

(2)、求f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值和最小值．

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19. 设{a_n}是公比为q的等比数列．

(1)、试推导{a_n}的前n项和公式；

(2)、设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

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20. 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；

(2)、求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

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21. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)、求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)、X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．

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22. 已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．

(1)、求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)、已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

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23. 已知函数f（x）=e^x ， x∈R．

(1)、若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；

(2)、设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．

(3)、设a＜b，比较 $\frac{f (a) + f (b)}{2}$ 与 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小，并说明理由．

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