【B卷】第三章圆—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

试卷更新日期：2024-01-14 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上(不与点A，点B重合)，连结PD交⊙O于点C，且PC=OB．设∠P=α，∠B=β，下列说法正确的是（）

A、α+β=90° B、3α+2β=180° C、5α+4β=180° D、β-α=30°

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2. 下列命题中，正确的命题是（）

A、三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B、三点确定一个圆 C、平分一条弦的直径一定垂直于弦 D、相等的两个圆心角所对的两条弧相等

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3. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（）米

A、1 B、0.8 C、0.6 D、0.5

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4. 如图，点O是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，点I是 $△ A B C$ 的内心，连接 $O B$ ， $I A$ ．若 $∠ C A I = 35 °$ ，则 $∠ O B C$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $17.5 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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5. 如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，C是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点．若∠C=110°，则∠ABC的度数为（）

A、55° B、60° C、65° D、75°

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6. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$

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7. 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O），其直径为AB ，一等腰直角三角板MNB绕点B旋转，斜边BN交半圆O于点C ， BM交半圆O于点D ，点C在量角器上的读数为 $α$ .关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）
结论Ⅰ： $\overset{⌢}{A C} + \overset{⌢}{B D} = \frac{1}{2} \overset{⌢}{A B}$ ；
结论Ⅱ：当边MN与半圆O相切于点E（点E在量角器上的读数为 $β$ ）时， $β - \frac{1}{2} α = 45$

A、只有结论Ⅰ对 B、只有结论Ⅱ对 C、结论Ⅰ、Ⅱ都对 D、结论Ⅰ、Ⅱ都不对

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8. 如图， $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ I$ 与 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 分别相切于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $⊙ I$ 的半径为 $r$ ， $∠ A = α$ ，则 $(B F + C E - B C)$ 的值和 $∠ F D E$ 的大小分别为（）

A、 $2 r$ ， $90 ° - α$ B、 $0$ ， $90 ° - α$ C、 $2 r$ ， $90 ° - \frac{α}{2}$ D、 $0$ ， $90 ° - \frac{α}{2}$

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9. 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $π$ 的近似值为3.1416．如图， $⊙ O$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $⊙ O$ 的面积，可得 $π$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $π$ 的估计值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 $A (4 ， 0) ， B (- 6 ， 0 ）$ ，点 $C$ 是 $y$ 轴正半轴上的一点，且满足 $∠ A C B = 4 5^{°}$ ，现有以下4个结论：① $△ A B C$ 的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC=60°；③△ABC的外接圆的半径等于 $5 \sqrt{2}$ ；④ $O C = 12$ .其中正确的是（）.

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G ，连接CG ，则CG的最小值是．

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12. 如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则 $△ A B C$ 外接圆的圆心是点，弧 $A C$ 的长是.

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13. 已知一次函数 $y = k x + 2$ 的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作 $⊙ O$ ．若对于符合条件的任意实数k，一次函数 $y = k x + 2$ 的图像与 $⊙ O$ 总有两个公共点，则r的最小值为．

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14. 如图，扇形纸片 $A O B$ 的半径为2，沿 $A B$ 折叠扇形纸片，点O恰好落在 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点C处，图中阴影部分的面积为.

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15. 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为；若点Q为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为.

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三、作图题（共7分）

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 4)$ ．

(1)、 $△ A B C$ 的外接圆的半径为；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，请在图中画出 $△ A_{1} B C_{1}$ ；

(3)、在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．

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四、解答题（共7题，共68分）

17. 平面内有A，B，C，D四个点，试探索：

(1)、若四点共线，则过其中三点作圆，可作个圆．

(2)、若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆．

(3)、若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作个圆．

(4)、过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？

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18. 如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm ， ∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧 $\overset{⌢}{M N}$ 分别交OA、OB于点M、N ．

(1)、点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；

(2)、点T在左半弧上，若AT与圆弧相切，求AT的长．

(3)、Q为优弧上一点，当△AOQ面积最大时，请直接写出∠BOQ的度数为．

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19. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．

(1)、如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到个．

(2)、如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．

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20. 【我们画不出一个完美的圆，但完美的圆是存在的，虽不能至，心向往之 $— —$ 罗翔】已知四边形 $A B C D$ 是半径为 $\sqrt{2} ⊙ O$ 的内接四边形，弦 $A B$ 的长度是 $2$ ，点 $P$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点．

(1)、填空： $∠ A O B$ 的度数是，并判断平行四边形 $A B C D$ 是否会是正方形 $($ 填“是”或“不是” $)$ ；

(2)、如图 $1$ ，若点 $E$ 是弦 $B P$ 的中点，连接 $O E$ ， $O P$ ，当点 $P$ 沿着劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 从点 $A$ 开始，顺时针运动到点 $B$ 时，求 $△ O P E$ 的外心 $K$ 所经过的路径的长度；

(3)、如图 $2$ ，点 $Q$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A D}$ 另一个动点，并始终满足 $∠ P C Q = \frac{1}{2} ∠ A O B$ ， $C P$ 、 $C Q$ 分别交弦 $A B$ ， $A D$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $M N$ 记 $△ C D N$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C B M$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ C M N$ 的面积为 $S$ ．
$①$ 直接写出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S$ 之间的数量关系； $($ 不必进行证明 $)$
$②$ 令 $D N = a$ ， $B M = b$ ，若满足 $2 S_{1}^{2} + S_{1} S - 2 S_{2}^{2} = 0$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

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21. 【问题背景】如图 $1$ ，在 $⊙ O$ 中，将劣弧 $A B$ 沿弦 $A B$ 所在的直线折叠，使得劣弧 $A B$ 恰好过圆心 $O$ ，圆心 $O$ 关于直线 $A B$ 的对称点为 $O'$ ．

(1)、【探究发现】如图 $1$ ，连接 $A O$ 、 $B O$ ，并延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，连接 $B D .$ 直接写出 $∠ A O B$ 的度数为， $B O$ 与 $B D$ 的数量关系为；

(2)、【深入探究】如图 $2$ ，将劣弧 $A B$ 沿弦 $A B$ 所在的直线折叠，弧 $A B$ 不经过圆心 $O$ ，在劣弧 $A B$ 上取一点 $C ($ 不与 $A$ 、 $B$ 重合 $)$ ，连接 $A C$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B C$ 、 $B D .$ 猜想 $B C$ 与 $B D$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展应用】如图 $3$ ，在 $(2)$ 条件下，若 $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $B D = 15$ ， $C D = 10$ ，求 $A B$ 的长．

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22. 小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，当 $A B$ 长度不变时.则点C在以 $A B$ 为直径的圆上运动（不与A、B重合）.

(1)、【探索发现】

小明继续探究，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 长度不变.作 $∠ A$ 与 $∠ B$ 的角平分线交于点F，小明计算后发现 $∠ A F B$ 的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动.请你计算 $∠ A F B$ 的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征.

(2)、【拓展应用】
在【探索发现】的条件下，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求出 $△ A F B$ 面积的最大值.

(3)、【灵活运用】
在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点D、点E分别在 $B C$ 和 $A C$ 边上，且 $B D = C E$ ，连接 $A D 、 B E$ 交于点F，试求出 $△ A F B$ 周长的最大值.

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23. 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理

小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：

将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

(1)、探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\overset{⌢}{B D}$ ， $B A = C A = D A = 2$ ，圆心角 $∠ B A D = 120 °$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $B D$ （水平线），请在图2中计算C到 $B D$ 的距离 $d_{1}$ .

(2)、探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\overset{⌢}{B D}$ ， $B A = C A = D A = 2$ ，圆心角 $∠ B A D = 90 °$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $B D$ （水平线），请在图4中计算C到 $B D$ 的距离 $d_{2}$ （结果保留根号）.

(3)、探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\overset{⌢}{B D}$ ，圆心角 $∠ B A D =$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $B D$ （水平线），在图6中计算C到 $B D$ 的距离 $d_{3} =$ （结果保留根号）.

(4)、归纳推理：比较 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ 大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）.

(5)、得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 $d =$ .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.

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【B卷】第三章 圆—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、作图题（共7分）

四、解答题（共7题，共68分）

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