【培优卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2024-01-14 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = \sqrt{3} ， P$ 是 $A D$ 边上的一个动点，连结 $B P$ ，点 $C$ 关于直线 $B P$ 的对称点为 $C_{1}$ ，当 $P$ 运动时， $C_{1}$ 也随之运动．若 $P$ 从 $A$ 运动到 $D$ ，则点 $C_{1}$ 经过的路径长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6} π$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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2. 已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ π B、3π C、 $\frac{\sqrt{57}}{3}$ π D、 $\frac{5}{3}$ π

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3. 已知在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $O B = 4$ ， $C$ 为弧 $A B$ 的中点， $D$ 为半径 $O B$ 上一动点，点 $B$ 关于直线 $C D$ 的对称点为 $M$ ，若点 $M$ 落在扇形 $O A B$ 内 $($ 不含边界 $)$ ，则 $O D$ 长的取值范围是（）

A、 $4 \sqrt{2} - 4 < O D < 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} < O D < 4 \sqrt{2}$ C、 $0 < O D < 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2} < O D < 4$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是边 $A D$ 、 $B C$ 的中点，某一时刻，动点 $E$ 从点 $M$ 出发，沿 $M A$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 匀速运动；同时，动点 $F$ 从点 $N$ 出发，沿 $N C$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接 $E F$ ，过点 $B$ 作 $E F$ 的垂线，垂足为 $H$ .在这一运动过程中，点 $H$ 所经过的路径长是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2} π$ B、 $\sqrt{5} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接正方形，直线 $E F ⊥ O A$ 且平分 $O A$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $F .$ 若 $O A = 1$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$

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6. 如图，在边长为4的正六边形 $A B C D E$ 中，先以点B为圆心， $A B$ 的长为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ，再以点A为圆心， $A B$ 的长为半径作 $\overset{⌢}{B P}$ 交 $\overset{⌢}{A C}$ 于点P，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3} + \frac{8 π}{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3} - \frac{8 π}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 如图， $R t △ B C O$ 中， $∠ B C O = 90 °$ ， $∠ C B O = 30 °$ ， BO＝2cm，将 $△ B C O$ 绕点O逆时针旋转至 $△ B^{'} C^{'} O$ ，点 $C^{'}$ 在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）

A、 $π c m^{2}$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} + π) c m^{2}$ C、 $2 π c m^{2}$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 π) c m^{2}$

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8. 如图，正方形ABCD的边长是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，以正方形对角线的一半OA为边作正六边形，其中一边与正方形的边CD交于点E，再以点O为圆心OE为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的的面积为（）

A、 $3 + \sqrt{3} + \frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

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二、填空题

9. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，以 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径画弧，得 $\overset{⌢}{E C}$ ，连接 $A C$ ， $A E$ ，则图中阴影部分的面积为．

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10. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为

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11. 如图，已知 $⊙ O$ 是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是 $⊙ O$ 上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且 $D E ⊥ C E$ ，连接CD交AB于点F，①若 $∠ A D C = 30 °$ ， $⊙ O$ 的半径 $r = 2$ ，则 $\overset{⌢}{A C} =$ ；②若 $t a n ∠ A D C = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{O F}{A F} =$ .

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12. 如图，四边形ABCD是边长为 $\frac{1}{2}$ 的正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂ …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，弧DA₁的圆心为A，半径为AD；弧A₁B₁的圆心为B，半径为BA₁；弧B₁C₁的圆心为C，半径为CB₁；弧C₁D₁的圆心为D，半径为DC₁….弧DA₁、弧A₁B₁、弧B₁C₁、弧C₁D₁…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则弧C₂₀₂₂D₂₀₂₂的长是（结果保留π）.

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三、解答题

13. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，边AB在直线l上．将Rt△ABC沿直线l作无滑动翻滚，当Rt△ABC翻滚一周时，求点A经过的路径长要解决这个问题，先要弄清在翻滚时点A经过的路径是什么Rt△ABC翻滚一周即为翻滚三次，第一次翻滚点A经过的路径长是以点B为圆心、AB为半径、圆心角是150°的 $\overset{⌢}{A A_{1}}$ 的长，即为5πcm；第二次翻滚点A经过的路线长是以点C1为圆心、A₁C₁为半径圆心角是90°的 $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ 的长，即为 $\frac{3}{2}$ πcm；第三次翻滚时点A没动．所以Rt△ABC翻滚一周点A经过的路径是5π+ $\frac{3}{2}$ π= $\frac{13}{2}$ π(cm)．
思考：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路径长．

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14. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ，连接BF．

(1)、求k的值；

(2)、求扇形AOC的半径及圆心角的度数；

(3)、请直接写出图中阴影部分面积之和．

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15. 项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理?

(1)、
【合作探究】

探究 $A$ 组：如图1，圆形车轮半径为 $4 cm$ ，其车轮轴心 $O$ 到地面的距离始终为 $cm$ ．
探究 $B$ 组：如图2，正方形车轮的轴心为 $O$ ，若正方形的边长为 $4 cm$ ，求车轮轴心 $O$ 最高点与最低点的高度差．
探究 $C$ 组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为 $4 cm$ ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 $90^{\circ}$ ，其车轮轴心为 $O$ ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 $O$ 经过的路程．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．

(2)、
【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 $A ， B ， C$ 为圆心，以正三角形的边长为半径作 $60^{\circ}$ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．

探究 $D$ 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 $O$ 并不稳定．

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