【培优卷】3.4圆周角和圆心角的关系—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2024-01-14 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A E ⊥ C B$ 交 $C B$ 的延长线于点E，若 $B A$ 平分 $∠ D B E$ ， $A D = 7$ ， $C E = 5$ ，则 $A E =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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2. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，弦 $B D$ 交 $A C$ 于点E， $A E = D E$ ， $B C = C E$ ，过点O作 $O F ⊥ A C$ 于点F，延长 $F O$ 交 $B E$ 于点G，若 $D E = 3$ ， $E G = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、7 C、8 D、 $4 \sqrt{5}$

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3. 如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将 $\overset{⌢}{A C}$ 绕着A点顺时针旋转得到 $\overset{⌢}{A D}$ ，点D恰好落在⊙O上，AB交 $\overset{⌢}{A D}$ 于E点，若OE＝EB，AB＝4，则BC的长是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，其中分别以 $A B ， C D$ 为直径在正方形内部做半圆，正方形的对角线交于O点，点E是以 $C D$ 为直径的半圆上的一个动点，则下列结论错误的是（）

A、若正方形的边长为10，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最小值为 $5 \sqrt{5} - 5$ B、连接 $D E ， O E$ ，则 $∠ O E D = 45 °$ C、连接 $D E ， C E$ ，若 $D E = 5$ ， $C E = 3$ ，则正方形的边长为 $\sqrt{34}$ D、若M，N分别为 $A B ， C D$ 的中点，存在点E，使得 $∠ M E N = 90 °$

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5. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）

A、4 B、4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 等腰△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径的圆O，与底边BC交于P，若圆O与腰AC的交点Q关于直线AP的对称点落在线段OA上（不与端点重合），则下列说法正确的是（）

A、∠BAC＞60° B、30°＜∠ABC＜60° C、BP＞ $\frac{1}{2}$ AB D、 $\frac{1}{2}$ AC＜PQ＜ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC

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7. 如图， $△ A B C$ 内接于半径为 $2 \sqrt{5}$ 的半圆 $O$ 中， $A B$ 为直径，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连结 $B M$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B M$ 于点 $D$ ， $D$ 为 $B M$ 的中点，可得（    ）

① $∠ A D B = 135 °$     ② $B C = \frac{12}{5} \sqrt{5}$     ③ $A D = 2 \sqrt{2}$     ④ $t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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8. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1： $\sqrt{3}$ ：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆 $\overset{⌢}{A D B}$ 的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（）

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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二、填空题

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，⊙C经过A，B，D，O四点，∠OAB＝120°，OB＝4 $\sqrt{3}$ ，则点D的坐标是．

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10. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，它的内心为点 $D$ ，连接 $A D$ 交弦 $B C$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，已知 $B E = 5$ ， $C E = 4$ ， $E F = 3$ ，则线段 $D E$ 的长为．

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11. 如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作 $⊙ O$ ，连接HF交 $⊙ O$ 于E点，连接DE，则线段DE的最小值为.

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12. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， $∠ B A C = 25 °$ ， $△ A B C$ 外角 $∠ A B E$ 的平分线交⊙O于点D，若 $B C = B D$ ，则 $∠ C$ 的度数为.

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三、综合题

13. 如图， $O A ， O B ， O C$ 都是 $⊙ O$ 的半径， $∠ A C B = 2 ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $∠ A O B = 2 ∠ B O C$ ；

(2)、若 $A B = 4 ， B C = \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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14. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径．

(1)、如图1，连接 $O A ， C A$ ，若 $O A ⊥ B D$ ，求证； $C A$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、如图2， $E$ 为 $⊙ O$ 内一点，满足 $A E ⊥ B C ， C E ⊥ A B$ ，若 $B D = 3 \sqrt{3}$ ， $A E = 3$ ，求弦 $B C$ 的长．

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15. 在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知： $△ A B C$ 是等边三角形，点D是 $△ A B C$ 内一点，连接 $C D$ ，将线段 $C D$ 绕C逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $C E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ， $A D$ ，并延长 $A D$ 交 $B E$ 于点F．当点D在如图所示的位置时：

(1)、观察填空：与 $△ A C D$ 全等的三角形是；

(2)、利用（1）中的结论，求 $∠ A F B$ 的度数

(3)、判断线段 $F D$ ， $F E$ ， $F C$ 之间的数量关系，并说明理由．

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