【B卷】第二章二次函数—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

试卷更新日期：2024-01-14 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）为抛物线y＝ax²﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x₁＜x₂ ，则下列说法正确的是（）

A、若x₁+x₂＜4，则y₁＜y₂ B、若x₁+x₂＞4，则y₁＜y₂ C、若a（x₁+x₂﹣4）＞0，则y₁＞y₂ D、若a（x₁+x₂﹣4）＜0，则y₁＞y₂

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2. 如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上，点 $O$ 是原点，顶点 $B$ 在 $y$ 轴上则顶点 $A$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ C、 $(4 ， 4)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$

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3. 在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）²+c（a≠0）和直线y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x的图象上有三点（x₁ ， m）、（x₂ ， m）、（x₃ ， m），则x₁+x₂+x₃的结果是（）

A、 $- \frac{3}{2} m + \frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、2

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4. 已知某抛物线与二次函数 $y = - 5 x^{2}$ 的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）

A、 $y = 5 {(x - 1)}^{2} + 2023$ B、 $y = - 5 {(x - 1)}^{2} + 2023$ C、 $y = 5 {(x + 1)}^{2} + 2023$ D、 $y = - 5 {(x + 1)}^{2} + 2023$

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5. 设函数 $y = a (x - h)^{2} + k (a ， h ， k$ 是实数， $a \neq 0)$ ，当 $x = 1$ 时， $y = 1$ ；当 $x = 8$ 时， $y = 8$ .据此可知（）.

A、若 $h = 4$ ，则 $a < 0$ B、若 $h = 5$ ，则 $a > 0$ C、若 $h = 6$ ，则 $a < 0$ D、若 $h = 7$ ，则 $a > 0$

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6. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD宽为（　　）

A、4 $\sqrt{5}$ 米 B、10米 C、4 $\sqrt{6}$ 米 D、12米

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为各边上的点，且 $A E = B F = C G = D H$ ，设小正方形 $E F G H$ 的面积为 $y$ ， $A E$ 为 $x$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + m = 0 (a \neq 0)$ 的根的情况判断如下，其中正确的有（）
甲：当 $m = 1$ 时，该方程没有实数根；
乙：当 $m = 3$ 时，该方程有两个相等实数根；
丙：当 $m = 5$ 时，该方程有两个不相等的实数根.

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 题目：“如图，抛物线 $y = x^{2} + m x$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2 ， 0)$ 和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围.”对于其答案，甲答： $x_{M} = 3$ ，乙答： $- 1 \leq x_{M} < 2$ ，丙答： $- 1 < x_{M} \leq 2$ ，丁答： $- 1 \leq x_{M} \leq 2$ ，则正确的是（）

A、只有甲答的对 B、甲、乙答案合在一起才完整 C、甲、丙答案合在一起才完整 D、甲、丁答案合在一起才完整

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二、填空题（每题3分，共15分）

10. 已知函数 $y = (m + 1) x^{| m | + 1} - 2 x + 1$ 是二次函数，则 $m =$ ．

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11. 如图①，抛物线的顶点为 $M$ ，平行于 $x$ 轴的直线与该抛物线交于点 $A 、 B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），根据对称性知 $△ A M B$ 恒为等腰三角形，我们规定：当 $△ A M B$ 为直角三角形时，就称 $△ A M B$ 为该抛物线的“完美三角形”．如图②，抛物线 $y = x^{2}$ 的“完美三角形”的斜边 $A B$ 的长为．
① ②

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12. 我们约定： $(a ， b ， c)$ 为函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为 $(m ， - m - 2 ， 2)$ 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为.

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13. 已知某函数的图象过 $A (2 ， - 1)$ ， $B (4 ， 1)$ 两点，下面有四个推断：
$①$ 若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过 $(0 ， - 3)$ ；
$②$ 若此函数的图象为抛物线，且经过 $(1 ， - 0.5)$ ，则该抛物线开口向下；
$③$ 若此函数的解析式为 $y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0)$ ，且经过原点，则 $0 < h < 1$ ；
$④$ 若此函数的解析式为 $y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0)$ ，开口向下，且 $2 < h < 4$ ，则 $a$ 的范围是 $a < - \frac{1}{2}$ ．
所有合理推断的序号是．

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14. 2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面米．

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三、解答题（共7题，共55分）

15. 如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）²+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h ， k+ $\frac{1}{4} a$ ），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l ，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m ，垂足为E、D ．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．

(1)、直接写出抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²的焦点坐标以及直径的长．

(2)、求抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ （x-3）²+2的焦点坐标以及直径的长．

(3)、已知抛物线y＝a（x-h）²+k（a≠0）的直径为 $\frac{3}{2}$ ，求a的值．

(4)、①已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ （x-3）²+2的焦点矩形与抛物线y＝x²-2mx+m²+1有两个公共点时m的取值范围．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+ $\frac{3}{2}$ x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y= $- \frac{1}{2}$ x+2经过点A、C．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、若点M （m，y₁）、N （m+2，y₂）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y₁y₂<0，则m的取值范围为

(3)、点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标．

(4)、若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（ $\frac{3}{2}$ m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（ $\frac{3}{2}$ m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围．

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17. 排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在 $O$ 处将球垫偏，之后又在A、 $B$ 两处先后垫球，球沿抛物线 $C_{1} \to C_{2} \to C_{3}$ 运动（假设抛物线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 在同一平面内），最终正好在 $O$ 处垫住， $O$ 处离地面的距离为1米．如图所示，以 $O$ 为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系， $x$ 轴平行于地面水平直线 $m$ ，已知点 $A (\frac{3}{2} ， \frac{3}{8})$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- \frac{3}{2}$ ，抛物线 $C_{1}$ 表达式为 $y = a x^{2} - 2 a x$ 和抛物线 $C_{3}$ 表达式为 $y = 2 a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的函数表达式；

(2)、第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

(3)、为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处 $B$ 离地面的高度至少为多少米？

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18. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）²+k（a＜0）．

(1)、在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；

(2)、比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x²+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d₁；比赛当天入水点的水平距离为d₂ ，则d₁d₂（填“＞”“＝”或“＜”）；

(3)、在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c ，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t²+c ，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？

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19. 已知： $m 、 n$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 的两个实数根，且 $m < n$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $A (m ， 0)$ ， $B (0 ， n)$ ，如图所示.

(1)、求这个抛物线的解析式；

(2)、设（1）中的抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，试求出点 $C ， D$ 的坐标和 $△ B C D$ 的面积；

(3)、 $P$ 是线段 $O C$ 上的一点，过点 $P$ 作 $P H ⊥ x$ 轴，与抛物线交于 $H$ 点，若直线 $B C$ 把 $△ P C H$ 分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出 $P$ 点的坐标.

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20. 小爱同学学习二次函数后，对函数 $y = - {(| x | - 1)}^{2}$ 进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

(1)、观察探究：
$①$ 写出该函数的一条性质：；
$②$ 方程 $- {(| x | - 1)}^{2} = - 1$ 的解为：；
$③$ 若方程 $- {(| x | - 1)}^{2} = m$ 有四个实数根，则 $m$ 的取值范围是．

(2)、延伸思考：
将函数 $y = - {(| x | - 1)}^{2}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y_{1} =^{- {(| x - 1 | - 1)}^{2} + 2}$ 的图象？写出平移过程，并直接写出当 $1 < y_{1} \leq 2$ 时，自变量 $x$ 的取值范围．

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21. 综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

售价（元/盆）
日销售量（盆）
A
20
50
B
30
30
C
18
54
D
22
46
E
26
38

(1)、数据整理
请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：

售价（元/盆）

日销售量（盆）

(2)、模型建立
分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；

(3)、拓广应用
根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

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	售价（元/盆）	日销售量（盆）
A	20	50
B	30	30
C	18	54
D	22	46
E	26	38

水平距离x/m	0	3	3.5	4	4.5
竖直高度y/m	10	10	k	10	6.25

【B卷】第二章 二次函数—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

【B卷】第二章二次函数—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试