福建省福州日升中学2023—2024学年12月份月考试卷高一数学

试卷更新日期：2024-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项最符合题意）

1. $s i n 15 ° c o s 15 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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2. 一个负角的绝对值被看成圆心角时，所对的弧长恰好是圆的周长的 $\frac{2}{3}$ ，则该角的度数是（）

A、 $- 240 °$ B、 $- 120 °$ C、 $120 °$ D、 $240 °$

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3. 下列函数中为周期是 $π$ 的偶函数是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = s i n | x |$ C、 $y = - s i n x$ D、 $y = s i n x + 1$

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4. 已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点 $P (\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ，则 $s i n (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知 $t a n θ = 2$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} + θ) - c o s (π - θ)}{c o s θ - s i n (π - θ)} =$ （）

A、2 B、-2 C、0 D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{7}{3}]$ B、 $[1 ， \frac{7}{3}]$ C、[1，3] D、 $(0 ， 3]$

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7. 设 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，若 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $2 c o s (2 α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{17 \sqrt{2}}{25}$ B、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{25}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{25}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{25}$

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8. 设 $0 < α < π$ ， $s i n α + c o s α = \frac{7}{13}$ ，则 $\frac{1 - t a n α}{1 + t a n α}$ 的值为（）

A、 $\frac{17}{7}$ B、 $\frac{7}{17}$ C、 $- \frac{17}{7}$ D、 $- \frac{7}{17}$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，漏选得2分，共20分）

9. 下列四个函数中，以 $π$ 为周期，且在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递减的是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = - t a n x$ D、 $y = s i n | 2 x |$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + c o s 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ 上是减函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如下图所示.则能够使得 $y = 2 s i n x$ 变成函数 $f (x)$ 的变换为（）

A、先横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{24}$ B、先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ C、先向左平移 $\frac{π}{6}$ ，再横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 D、先向左平移 $\frac{π}{24}$ ，再横坐标变为原来的2倍

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12. 已知函数 $f (x) = s i n x$ 和 $g (x) = c o s x$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像可由 $g (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到 B、 $x \in (\frac{3 π}{4} ， π)$ 时， $| g (x) | > | f (x) |$ C、 $h (x) = f (x) + g (x)$ 的对称轴方程为： $x = - \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ D、若动直线 $x = a$ 与函数 $f (x) = s i n x$ 和 $g (x) = c o s x$ 的图像分别交于 $M$ ， $N$ 两点.则 $| M N |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (\frac{5 π}{6} + α) - s i n^{2} (α - \frac{π}{6}) =$ ．

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14. 已知 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ)$ 对任意 $x$ 都有 $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $f (\frac{π}{3})$ 等于．

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15. 已知 $s i n α - s i n β = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $c o s α + c o s β = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s^{2} \frac{α + β}{2} =$ .

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16. 将函数 $f (x) = s i n (4 x + φ) (φ < 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到奇函数 $g (x)$ 的图象，则 $φ$ 的最大值是.

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四、解答题（本大题共6，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知角 $α$ 是第三象限角， $t a n α = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $s i n α ， c o s α$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 + 2 s i n (π - α) c o s (- 2 π - α)}{s i n^{2} (- α) - s i n^{2} (\frac{5 π}{2} - α)}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ .

(1)、列表，描点，画函数 $f (x)$ 的简图；
$2 x + \frac{π}{4}$

$x$

$f (x)$

(2)、当 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且满足 $s i n^{2} (A + C) = \sqrt{3} s i n B c o s B$ ， $c o s (C - A) = - 2 c o s 2 A$ .

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、已知函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x (x \in R)$ ，求 $f (A + 45 °)$ 的值．

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20. 观察以下等式：
① $s i n^{2} 75 ° + c o s^{2} 75 ° - s i n 75 ° c o s 75 °$
② $s i n^{2} 60 ° + c o s^{2} 90 ° - s i n 60 ° c o s 90 °$
③ $s i n^{2} 30 ° + c o s^{2} 120 ° - s i n 30 ° c o s 120 °$
④ $s i n^{2} 45 ° + c o s^{2} 105 ° - s i n 45 ° c o s 105 °$
⑤ $s i n^{2} (- 15 °) + c o s^{2} 16 5^{∘} - s i n (- 15 °) c o s 165 °$

(1)、对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；

(2)、根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + φ) + c o s (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，所得函数的图象关于 $y$ 轴对称.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5}{12} π]$ 上恰有两个实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - s i n^{2} ω x + \frac{1}{2}$ ，其中 $ω > 0$ ，若实数 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ 时， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $ω$ 的值及 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若不等式 $f^{2} (x) + 2 a c o s (2 x + \frac{π}{6}) - 2 a - 2 < 0$ 对任意 $x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6})$ 时恒成立，求实数 $a$ 应满足的条件；

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$2 x + \frac{π}{4}$
$x$
$f (x)$