江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} < 9}$ ， $N = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${4 ， 5}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ，都有 $c o s x \leq 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $c o s x \leq 1$ B、 $\exists x \in R$ ，使得 $c o s x > 1$ C、 $\forall x \in R$ ，都有 $c o s x \leq - 1$ D、 $\forall x \in R$ ，都有 $c o s x > 1$

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3. 已知 $x \in R$ ，若集合 $M = {1 ， x}$ ， $N = {1 ， 2 ， 3}$ ，则“ $x = 2$ ”是“ $M \subseteq N$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（）

A、淮安方特 B、龙宫大白鲸世界 C、西游乐园 D、不能确定

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5. 已知 $m = 0 . 8^{4.2}$ ， $n = l o g_{0.7} 4.2$ ， $p = 0 . 7^{4.2}$ ，则m、n、p的大小关系为（）

A、 $p < n < m$ B、 $n < m < p$ C、 $m < n < p$ D、 $n < p < m$

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6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数 $f (x) = \frac{x c o s x}{2 + s i n | x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 内有一个零点，且求得 $f (x)$ 的部分函数值数据如下表所示：
$x$
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
$f (x)$
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
要使 $f (x)$ 零点的近似值精确到0.1，则对区间 $(0 ， 1)$ 的最少等分次数和近似解分别为（）

A、6次0.7 B、6次0.6 C、5次0.7 D、5次0.6

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} + l n (\sqrt{1 + x^{2}} + x)$ ，若不等式 $f (2^{x} - 4^{x}) + f (m \cdot 2^{x} - 2) < 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2} + 1)$ B、 $(- 2 \sqrt{2} + 1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 \sqrt{2} + 1 ， 2 \sqrt{2} - 1)$ D、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2} - 1)$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列结论中正确的有（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4

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10. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 x + a$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ B、 $a < 1$ C、若 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{1} x_{2}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $\forall m ， n \in R$ 且 $m \neq n$ ，都有 $\frac{f (m) + f (n)}{2} > f (\frac{m + n}{2})$

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11. 对于函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) ， (ω > 0)$ ，下列结论正确的有（）

A、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5}{12} π ， 0)$ 中心对称 B、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是单调函数 C、若 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，则 $ω$ 的最小值为2 D、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = c o s x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 4) = f (x) + f (2)$ 成立．当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，下列结论中正确的有（）

A、 $f (2) = 0$ B、函数 $y = f (x)$ 在 $(2 ， 4)$ 上单调递增 C、直线 $x = 4$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = l o g_{2} | x | + 2$ 共有4个不等实根

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + l o g_{3} (4 - x) ， x < 2 \\ 3^{x - 1} ， x \geq 2 \end{array}$ ，则 $f [f (- 5)] =$ ．

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14. 已知a ， b为正实数，满足 $(a + 3 b) (2 a + b) = 6$ ，则 $8 a + 9 b$ 的最小值为．

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15. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 $2$ ，分别以点 $A ， B$ 为圆心， $A F$ 长为半径画弧，两弧交于点 $G$ ，则 $\overset{⌢}{A G} ， \overset{⌢}{B G} ， A B$ 围成的阴影部分的面积为．

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16. 近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 $12 0^{∘}$ ，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为秒．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

(1)、已知 $s i n α = 2 c o s α$ ，求 $s i n α \cdot c o s α$ 的值；

(2)、求值 $l o g_{2} 3 \cdot l o g_{9} 16 + 1 0^{l g 2} - 8^{\frac{2}{3}}$ ．

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18. 设全集为 $U = R$ ，集合 $A = {x | l o g_{2} (x^{2} - 7 x) > 3}$ ， $B = {x | a + 1 < x < 2 a - 3}$ ．

(1)、当 $a = 6$ 时，求图中阴影部分表示的集合C；

(2)、在① $(∁_{R} A) \cap B = \emptyset$ ；② $A ∩ B = B$ ；③ $A \cup B = A$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于x的方程 $g (x) + a = 0$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

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20. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
$x (T)$
1
2
3
4
5
6
…
$y$ (人数)
…
6
…
36
…
216
…
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过 $x (x \in N^{*})$ 个单位时间T的关系有两个函数模型 $y = m x^{2} + n$ 与 $y = k \cdot a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 可供选择．
（参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ ， $l g 2 = 0.301$ ， $l g 3 = 0.477$ ）

(1)、判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (2) = \frac{1}{4}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上的单调性；

(3)、若存在实数 $x \in [- 1 ， 2]$ ，使得不等式 $4 [f (x)]^{2} - f (x) + 1 \leq m$ 有解，求实数m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x$ ．

(1)、若函数 $y = f [f (x)] + f (x)$ 的零点在区间 $(k ， k + 1)$ 上，求正整数k的值；

(2)、记 $g (x) = f [(3 - a) e^{x} - 1] - f (a) - 2 x$ ，若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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$x$	0	1	0.5	0.75	0.625	0.5625	0.6875	0.65625	0.671875
$f (x)$	-1	1	-0.375	0.1718	-0.1308	-0.2595	0.01245	-0.06113	-0.02483

$x (T)$	1	2	3	4	5	6	…
$y$ (人数)	…	6	…	36	…	216	…

江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末 数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题