安徽省亳州重点中学2023~2024学年高二第一学期全市统考第一次模拟考试

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $M (4 ， 5 ， 3)$ 关于平面 $z O x$ 的对称点为 $N$ ，则 $| M N | =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、4

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2. 已知三棱锥 $O - A B C$ ，点M ， N分别为AB ， OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

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3. 某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示， $A_{1} F = B_{1} F = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A A_{1} = A D = 4$ ， $P$ 、 $Q$ 、 $M$ 、 $N$ 分别是棱 $A B$ 、 $C_{1} E$ 、 $B B_{1}$ 、 $A_{1} F$ 的中点，则异面直线 $P Q$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{21}}{21}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$

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5. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + m = 0$ 相内切，则 $m =$ （）

A、11 B、 $- 11$ C、9 D、 $- 9$

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6. 已知两点 $A (- 1 ， 5) ， B (0 ， 0)$ ，若直线 $l ： (k + 1) x - (2 k - 2) y + 2 k - 6 = 0$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 倾斜角的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$

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7. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的左顶点为A ，点P ， Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP ， AQ的斜率之积为 $- 2$ ，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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8. 阅读材料：数轴上，方程 $A x + B = 0 (A \neq 0)$ 可以表示数轴上的点；平面直角坐标系 $x O y$ 中，
方程 $A x + B y + C = 0$ （ $A$ 、 $B$ 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，
方程 $A x + B y + C z + D = 0$ （ $A$ 、 $B$ 、 $C$ 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c)$ 的平面 $α$ 的方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $3 x - 5 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是两平面 $x - 3 y - 7 = 0$ 与 $4 y + 2 z + 1 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{35}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{35}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）

A、所有奇数项的二项式系数和为 $2^{11}$ B、二项式系数最大的项为第7项 C、所有项的系数和为 $3^{13}$ D、有理项共5项

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10. 下列四个命题中正确的是（）

A、已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{m}}$ 也是空间的一组基底 B、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ ，则 $l / / α$ C、已知向量 $\vec{a} = (9 ， 4 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(1 ， 2 ， 1)$ D、 $O$ 为空间中任意一点，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，且 $x + y + z = 1$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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11. 已知直线 $l ： k x + 1 + 2 k - y = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 8$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 2 ， 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $O$ 有两个交点 C、存在直线 $l$ 与直线 $l_{0} ： x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 D、直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的最短弦长为 $2 \sqrt{2}$

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12. 设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，斜率为k的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ， B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（）

A、直线AB与OM垂直 B、若点M坐标为 $(1 ， 1)$ ，则直线方程为 $2 x + y - 3 = 0$ C、若直线方程为 $y = x + 1$ ，则点M坐标为 $(\frac{1}{3} ， \frac{4}{3})$ D、若直线方程为 $y = 2 x + 2$ ，则 $| A B | = \frac{4}{3} \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0 ， m)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 平行，则 $k =$ ．

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14. 已知点 $A (0 ， 3)$ ，圆 $C$ 的半径为1，圆心是直线 $y = 2 x - 4$ 和直线 $y = x - 1$ 的交点.若过点 $A$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点，则直线 $l$ 斜率的取值范围为．

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15. 现有 $A ， B ， C ， D ， E$ 五人排成一列，其中 $A$ 与 $B$ 相邻， $C$ 不排在两边，则共有种不同的排法（用具体数字作答）．

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} C} (0 < λ < 1)$ ，若二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 的平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长都为2，且 $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $P$ 为 $A B$ 的中点，点 $Q$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、点 $B_{1}$ 到直线 $P Q$ 的距离；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $P Q C$ 的距离．

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18. 已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．

(1)、求C的方程；

(2)、若过点F的直线与C交于不同的两点A ， B ，且 $| A B | = 36$ ，求直线AB的方程．

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19. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．

(1)、若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；

(2)、现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

(3)、计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．

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20.

(1)、求 $4^{15}$ 除以15的余数；

(2)、若 ${(2 x - 1)}^{8} - 1 = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7} + a_{8} x^{8}$ ，求 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}$ 的值；

(3)、求 ${(\frac{x}{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{12}$ 展开式中系数最大的项．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A D = 6 0^{∘} ， P A = A B = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为线段 $P B$ 上的一点．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、当 $A M$ 与平面 $P B D$ 所成的角的正弦值最大时，求平面 $M A C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，直线 $l ： x = 8$ ，过右焦点 $F$ 的直线(不与 $x$ 轴重合)与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，过点 $A$ 作 $A D ⊥ l$ ，垂足为 $D$ ．

(1)、求证：直线 $B D$ 过定点 $E$ ，并求出定点 $E$ 的坐标；

(2)、点 $O$ 为坐标原点，求 $△ O B D$ 面积的最大值．

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