甘肃省酒泉市普通高中2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 下列各角中，与 $760 °$ 角终边相同的角是（）

A、 $60 °$ B、 $360 °$ C、 $- 320 °$ D、 $- 440 °$

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2. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， 4]$ B、 $[- 2 ， 1)$ C、 $(2 ， 4]$ D、 $(- \infty ， 4]$

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3. 函数 $y = \sqrt{x - 2} + l n (4 - x)$ 的定义域为（）

A、 $[2 ， 4)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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4. 函数 $f (x) = x^{3} + x - 20$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 已知 $a = 2^{0.1}$ ， $b = l o g_{2} 0.1$ ， $c = 3^{0.1}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x) =$ $s i n (2 x - \frac{π}{12})$ 的图象，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据： $l g 1.09 \approx 0.0374 ， l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ .

A、2024年 B、2025年 C、2026年 D、2027年

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8. 已知函数 $f (x) = a x - 2$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} ， 1 \leq x \leq 3 ， \\ - x^{2} + 1 ， - 3 \leq x < 1 ， \end{array}$ 对 $\forall x_{1} \in [- 3 ， 3]$ ， $\exists x_{2} \in [- 3 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若 $s i n α \cdot c o s α > 0$ ，则 $α$ 终边可能在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 设函数 $f (x) = x | x | - 2 x$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数 B、是偶函数 C、在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减 D、在 $(- \infty ， - 1)$ 上单调递减

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x - \frac{π}{6})$ 为偶函数 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$

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12. 若 $2^{a} + l o g_{2} a = 4^{b} + 2 l o g_{4} b$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b^{2}$ D、 $a < b^{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 5 ， 12)$ ，则 $s i n α =$ .

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14. 如果函数 $f (x)$ 对任意的正实数a ， b ，都有 $f (a b) = f (a) + f (b)$ ，则 $f (x)$ 的解析式可以是 $f (x) =$ .（写出一个即可）

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15. 建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻､气韵生动､极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 $O C D$ 截去同心扇形 $O A B$ 所得部分，已知 $A D = 1 m$ ，弧 $\overset{⌢}{A B} = \frac{π}{3} m$ ，弧 $\overset{⌢}{C D} = \frac{2 π}{3} m$ ，则此扇环形砖雕的面积为 $m^{2}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = | l g x |$ ， $f (a) = f (b)$ ， $a < b$ ，则 $a + 2023 b$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} - 6 x + a^{2} = 0$ ，当命题 $p$ 为真命题时，实数 $a$ 的取值集合为 $A$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、设非空集合 $B = {a | 3 m - 2 \leq a \leq m - 1}$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 6 m + 9) x^{m + 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $(3 a - 2)^{- m - 1} < (a + 4)^{- m - 1}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19.

(1)、已知 $c o s α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角，求 $s i n α$ 的值；

(2)、已知 $t a n α = 3$ ，计算 $\frac{4 s i n α - 2 c o s α}{5 c o s α + 3 s i n α}$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a x + b} (a ， b \in R)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ ， $f (- 1) = - 1$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、试判断函数 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [2 ， 6]$ 上的最大值和最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + (- 2 b)^{x} - m \leq 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图象上的任意两点， $f (0) = 1$ ，且当 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 \sqrt{2}$ 时， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 时， $[f (x)]^{2} - m f (x) - m \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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