江苏省海安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-12 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 1 ， 1]$ B、 $(- ∞ ， - 1) \cup [1 ， + ∞)$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup (1 ， + \infty)$

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2. 命题 $p ：$ “ $\exists x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x + 2 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 2 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + 2 > 0$

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3. 式子 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} + \sqrt[3]{{(3 - π)}^{3}}$ 的值为（）

A、 $7 - 2 π$ B、 $2 π - 7$ C、 $- 1$ D、1

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4. 图中实线是某景点收支差额 $y$ 关于游客量 $x$ 的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件， $p$ 是 $r$ 的充分不必要条件，则 $q$ 是 $r$ 的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 将函数 $y = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，所得图象关于原点对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x^{3}$ ，记 $a = f (l o g_{0.3} 2)$ ， $b = f (2^{0.3})$ ， $c = f (0 . 3^{2})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足：对任意的非零实数x ， y ，都 $f (x + y) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) f (x) f (y)$ 成立， $f (1) = 2$ .若 $f (n) = f (n + 1)$ ， $n \in Z$ ，则 $n =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若 $a > b > 1 > c > 0$ ，则（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $a^{c} > b^{c}$ C、 $l o g_{a} c > l o g_{b} c$ D、 $l o g_{\frac{1}{c}} a > | l o g_{c} b |$

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10. 记无理数 $e = 2.718281828459045 \cdot \cdot \cdot$ 小数点后第n位上的数字为m ，则m是关于n的函数，记作 $m = f (n)$ ，其定义域为A ，值域为B ，则（）

A、 $f (5) = 8$ B、函数 $f (n)$ 的图象是一群孤立的点 C、n是关于m的函数 D、 $B ⊆ A$

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11. 奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，在区间 $(a ， b) (a < b)$ 上都是增函数，则（）

A、 $0 \notin (a ， b)$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- b ， - a)$ 上是增函数， $g (x)$ 在区间 $(- b ， - a)$ 上是减函数 C、 $f (x) g (x)$ 是奇函数，且在区间 $(a ， b)$ 上是增函数 D、 $f (x) - g (x)$ 不具有奇偶性，且在区间 $(a ， b)$ 上的单调性不确定

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12. 我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是 $y = A s i n ω x$ .已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上是单调增函数 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{11}{6}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知扇形的半径为1cm，弧长为2cm，则其圆心角所对的弦长为cm.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1 ， 2)$ ，若角 $β$ 的终边与角 $α$ 的终边关于轴对称，则 $c o s (α - π) c o s (\frac{π}{2} + β) =$ .

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15. 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = t a n (n x - \frac{π}{4}) (n \in Z)$ 在区间 $(\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ 上是减函数，则 $n$ 的取值集合为.（用列举法表示）

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合 $A = {x | - 2 x^{2} + 7 x - 3 > 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - b x + 4 < 0 ， b \in R}$

(1)、若 $A \cap B = (1 ， 3)$ ，求 $b$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求 $b$ 的取值范围.

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18. 已知 $x \in (0 ， π)$ .

(1)、若 $\frac{s i n x}{1 - c o s x} = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{1 + c o s x}{s i n x}$ 的值；

(2)、若 $s i n x + c o s x = \frac{1}{5}$ ，求 $c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的振幅为 $2$ ，最小正周期为 $π$ ，且其恰满足条件①②③中的两个条件：
①初相为 $\frac{π}{3} ；$ ②图像的一个最高点为 $(\frac{π}{3} ， 2) ；$ ③图像与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， \sqrt{3}) .$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式 $；$

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{6}{5}$ ，求 $s i n (\frac{2 π}{3} - α) - s i n^{2} (\frac{5 π}{6} + α)$ 的值．

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20. 设计一个印有“红十字”logo的正方形旗帜 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ （如图）.要求“红十字”logo居中，其突出边缘之间留空宽度均为2cm，“红十字”logo的面积（阴影部分）为 $100 c m^{2}$ . $A H^{'}$ 的长度不小于 $A B$ 的长度.记 $A B = F G = C D = E H = x c m$ ， $A H^{'} = I F = J C = K H = y c m$ .

(1)、试用 $x$ 表示 $y$ ，并求出 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x$ 为多少时，可使正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积最小？
参考结论：函数 $f (x) = x + \frac{k}{x} (k > 0)$ 在 $(0 ， \sqrt{k})$ 上是减函数

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其图象经过点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 2 ， - 4)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a x^{2} + \frac{b}{x} - 1$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值及 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式 $；$

(2)、请在区间 $(- \infty ， - 1)$ 和 $(0 ， 1)$ 中选择一个判断 $f (x)$ 的单调性，并证明．

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22. 已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = a^{x - 1} + x - 3$ ， $g (x) = x - 2 + l o g_{a} x$ .

(1)、若 $a = 2$ ， $f (m) = m$ ，求 $g (2^{m})$ ；

(2)、若 $f (m) = - 1$ ， $g (m) = - 1$ ，求 $m$ ；

(3)、若 $f (m) = 0$ ， $g (n) = 0$ ，问： $m + n$ 是否为定值（与a无关）?并说明理由.

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江苏省海安市2022-2023学年高一上学期期末 数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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